Determine se as seguintes integrais impróprias convergem ou divergem e calcule o seus valores em casos de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a integral imprópria
converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais impróprias, que são aquelas em que a função tem comportamentos especiais nos limites de integração, como descontinuidades ou infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Nesse caso, a integral está indo de 0 até 1, mas a função
tem um problema em
, porque quando x se aproxima de 0,
tende ao infinito. Isso significa que precisamos calcular o limite da integral quando o limite inferior se aproxima de 0.
Passo 3
Então, reescrevemos a integral como um limite:
Aqui, substituímos o 0 por um número
que se aproxima de 0 pelo lado positivo, garantindo que x nunca seja exatamente zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
. Sabemos que:
Onde
é a constante de integração. Isso vem da regra de integração de potências, onde
para
.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Isso significa que a integral tende ao infinito.
Resposta
A integral
diverge, ou seja, não tem um valor finito.