Determine se as seguintes integrais impróprias convergem ou divergem e calcule o seus valores em casos de convergência: integral0^1 1x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a integral imprópria integral0^1 1x^2 dx converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais impróprias, que são aquelas em que a função tem comportamentos especiais nos limites de integração, como descontinuidades ou infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Nesse caso, a integral está indo de 0 até 1, mas a função 1x^2 tem um problema em x = 0, porque quando x se aproxima de 0, 1x^2 tende ao infinito. Isso significa que precisamos calcular o limite da integral quando o limite inferior se aproxima de 0.

Passo 3

Então, reescrevemos a integral como um limite:
integral0^1 1x^2 dx = lima to 0^+ integrala^1 1x^2 dx
Aqui, substituímos o 0 por um número a que se aproxima de 0 pelo lado positivo, garantindo que x nunca seja exatamente zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de 1x^2. Sabemos que:
integral 1x^2 dx = -1x + C
Onde C é a constante de integração. Isso vem da regra de integração de potências, onde integral x^n dx = x^n+1n+1 + C para n neq -1.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de a a 1, temos:
integrala^1 1x^2 dx = [ -1x ]a^1 = ( -11 ) - ( -1a ) = -1 + 1a

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando a se aproxima de 0:
lima to 0^+ ( -1 + 1a ) = -1 + infty = infty
Isso significa que a integral tende ao infinito.

Resposta

A integral integral0^1 1x^2 dx diverge, ou seja, não tem um valor finito.

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