Esboce e encontre a área da região
onde
é a região limitada entre os gráficos de:
e
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região
limitada pelos gráficos de
O conteúdo é cálculo de área entre curvas, que requer:
- determinar pontos de interseção;
- ver qual curva está por cima em cada intervalo;
- escrever a área como integrais de diferença das funções;
- calcular essas integrais.
Passo 2
Vamos achar as interseções resolvendo
Fazendo
(
), temos
e a equação vira
As raízes são
Voltando a
, as abscissas de interseção são
Passo 3
Para decidir qual curva está acima, avaliamos um ponto em cada subintervalo:
- Se
, por exemplo :
e , então . - Se
, por exemplo :
e , então .
Logo existem duas “folhas” de região fechada:
-
entre e , com topo e base . -
entre e , com topo e base .
Passo 4
Escrevemos a área total como
onde
Passo 5
Calculemos cada integral. Uma primitiva de
é
e de
é
Logo
Somando
fica
Passo 6
Substituindo
e simplificando, obtém-se a forma exata
que numericamente vale aproximadamente
.