Esboce e encontre a área da região R onde R é a região limitada entre os gráficos de: y=raizx e y=2 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região R limitada pelos gráficos de
y = raizx e y = 2x - x^2
O conteúdo é cálculo de área entre curvas, que requer:
  1. determinar pontos de interseção;
  2. ver qual curva está por cima em cada intervalo;
  3. escrever a área como integrais de diferença das funções;
  4. calcular essas integrais.

Passo 2

Vamos achar as interseções resolvendo
raizx = 2x - x^2
Fazendo t = raizx ( t>=0), temos x = t^2 e a equação vira
t = 2t^2 - t^4 ;Longrightarrow; t^4 - 2t^2 + t = 0 ;Longrightarrow; t,(t^3 - 2t + 1) = 0
As raízes são
t = 0, t = 1, t = -1 + raiz52approx0,618
Voltando a x = t^2, as abscissas de interseção são
x0 = 0, x1 = l(tfrac-1 + raiz52r)^2 = 3 - raiz52, x2 = 1

Passo 3

Para decidir qual curva está acima, avaliamos um ponto em cada subintervalo:
  • Se 0<x<x1, por exemplo x=0,1:
    raiz0,1approx0,316 e 2(0,1)-(0,1)^2=0,19, então raizx > 2x - x^2.
  • Se x1<x<1, por exemplo x=0,8:
    raiz0,8approx0,894 e 2(0,8)-(0,8)^2=0,96, então 2x - x^2 > raizx.
Logo existem duas “folhas” de região fechada:
  • R1 entre x=0 e x=x1, com topo y=raizx e base y=2x-x^2.
  • R2 entre x=x1 e x=1, com topo y=2x-x^2 e base y=raizx.

Passo 4

Escrevemos a área total como
Área(R) = integral0^x1l[raizx - (2x - x^2)r],dx + integralx1^1l[(2x - x^2) - raizxr],dx, Á
onde x1 = tfrac3 - raiz52

Passo 5

Calculemos cada integral. Uma primitiva de x^1/2-2x+x^2 é
F1(x) = 23x^3/2 - x^2 + 13x^3,
e de 2x - x^2 - x^1/2 é
F2(x) = x^2 - x^33 - 23x^3/2
Logo
A1 &= l[F1(x)r]0^x1 = 23x1^3/2 - x1^2 + 13x1^3, A2 &= l[F2(x)r]x1^1 = l(1 - tfrac13 - tfrac23r) - l(x1^2 - tfracx1^33 - tfrac23x1^3/2r) = -,x1^2 + tfracx1^33 + tfrac23x1^3/2
Somando A1 + A2 fica
Área(R) = 43x1^3/2 + 23x1^3 - 2x1^2 com x1 = 3 - raiz52 Á

Passo 6

Substituindo x1 = tfrac3-raiz52 e simplificando, obtém-se a forma exata
Área(R) = 2(3-raiz5)3,raiz3-raiz52 ;+;raiz5-33, Á
que numericamente vale aproximadamente 0,190.

Resposta

boxed Área(R) = 2(3-raiz5)3,raiz3-raiz52 ;+;raiz5-33 approx 0,190 Á

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