Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(f)
;
(f)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
e, caso ela seja convergente, calcular o seu valor. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias no ponto de infinito e o uso de antiderivadas para funções do tipo .
e, caso ela seja convergente, calcular o seu valor. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias no ponto de infinito e o uso de antiderivadas para funções do tipo
Passo 2
Identificamos o ponto impróprio: o limite superior é
. A função
é contínua para , logo em
não há singularidade no limite inferior. Para testar a convergência em
, comparamos com
. Como o expoente
, essa integral convergente sugere que a nossa também converge.
é contínua para
Passo 3
Vamos calcular a antiderivada de
.
Fazendo a substituição , temos
e
Fazendo a substituição
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo
:
Para
e
,
. Para
,
. Assim,
Resposta
A integral é convergente e vale
.