Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(f) integral3^infty 1(x-2)^3 / 2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral3^infty1(x-2)^3/2,dx
e, caso ela seja convergente, calcular o seu valor. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias no ponto de infinito e o uso de antiderivadas para funções do tipo (x-2)^-3/2.

Passo 2

Identificamos o ponto impróprio: o limite superior é infty. A função
f(x)=1(x-2)^3/2
é contínua para x>2, logo em [3,infty) não há singularidade no limite inferior. Para testar a convergência em infty, comparamos com integral3^inftyx^-3/2dx. Como o expoente 3/2>1, essa integral convergente sugere que a nossa também converge.

Passo 3

Vamos calcular a antiderivada de
(x-2)^-3/2.
Fazendo a substituição u=x-2, temos du=dx e
integral (x-2)^-3/2,dx =integral u^-3/2,du =u^-1/2-1/2 =-2,u^-1/2 =-2,(x-2)^-1/2

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo [3,infty):
integral3^infty1(x-2)^3/2,dx =limbtoinftyl[-2,(x-2)^-1/2r]x=3^x=b
Para x=b e btoinfty, (b-2)^-1/2to0. Para x=3, (3-2)^-1/2=1. Assim,
limbtoinftyl[-2,(b-2)^-1/2r] - l[-2,(3-2)^-1/2r] =0-(-2cdot1)=2

Resposta

A integral é convergente e vale 2.

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