Obtenha a solução geral da equação
r^2 f^prime prime(r)+a r f^prime(r)+b f(r)=0
onde a e b são constantes. Discuta os vários casos, em função de a e b.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
r^2f''(r)+a,r,f'(r)+b,f(r)=0,
onde a e b são constantes. Esse tipo de ODE admite solução na forma de potência
f(r)=r^m

Passo 2

Supondo f(r)=r^m, temos
f'(r)=m,r^m-1, f''(r)=m(m-1),r^m-2
Substituindo na equação original:
r^2l[m(m-1)r^m-2r]+a,rl[m,r^m-1r]+b,r^m=0
Longrightarrow m(m-1)+a,m+b=0
Ou seja, a equação característica é
m^2+(a-1)m+b=0

Passo 3

Denote o discriminante por
De<a=(a-1)^2-4,b
As raízes da característica são
m1,2=-(a-1)pmraizDe<a2

Passo 4

Caso De<a>0, as raízes m1neq m2 são reais distintas. A solução geral é
f(r)=C1,r^m1+C2,r^m2

Passo 5

Caso De<a=0, há raiz dupla m1=m2=m. A solução geral usa um termo logarítmico:
f(r)=(C1+C2ln r),r^m,
onde m=-(a-1)/2.

Passo 6

Caso De<a<0, escreva De<a=-beta^2 com
alpha=-a-12, beta=raiz4b-(a-1)^22
As raízes são m=alphapm ibeta e a solução real geral é
f(r)=r^alphal[C1cos(betaln r)+C2sin(betaln r)r]

Resposta

Para a equação
r^2f'' + a cdot r cdot f' + b cdot f = 0
com De<a = (a - 1)^2 - 4b, a solução geral é:
f(r) = C1 r^m1 + C2 r^m2, & De<a > 0, m1,2 = -(a - 1) pm raizDe<a2, [1em] f(r) = (C1 + C2 ln r) cdot r^m, & De<a = 0, m = -(a - 1)2, [1em] f(r) = r^alpha l[ C1 cos(beta ln r) + C2 sin(beta ln r) r], & De<a < 0, ; alpha = -(a - 1)2, ; beta = raiz-De<a2 ]

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