Obtenha a solução geral da equação
onde
e
são constantes. Discuta os vários casos, em função de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
onde
e
são constantes. Esse tipo de ODE admite solução na forma de potência
Passo 2
Supondo
, temos
Substituindo na equação original:
Ou seja, a equação característica é
Passo 3
Denote o discriminante por
As raízes da característica são
Passo 4
Caso
, as raízes
são reais distintas. A solução geral é
Passo 5
Caso
, há raiz dupla
. A solução geral usa um termo logarítmico:
onde
.
Passo 6
Caso
, escreva
com
As raízes são
e a solução real geral é
Resposta
Para a equação
com
, a solução geral é: