Mostre que se f(z)=u(x, y)+i v(x, y) for uma função analítica complexa definida em uma região Omega contida no plano complexo C, ( z=x+i y ), então u e v serão funções harmônicas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y)
é analítica em uma região OmegasubsetC, então as componentes reais u e v são harmônicas, isto é, satisfazem a equação de Laplace
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2=0
para w=u e w=v. Vamos usar o fato de que analiticidade implica nas equações de Cauchy–Riemann e na existência de derivadas parciais contínuas de segunda ordem.

Passo 2

Como f é analítica, u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
ux = vy e uy = -,vx
e além disso todas as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas em Omega.

Passo 3

Para mostrar que u é harmônica, calculamos
uxx = partialpartial x(ux) = partialpartial x(vy) = vyx,
e
uyy = partialpartial y(uy) = partialpartial y(-vx) = -,vxy
Como as derivadas mistas de v são iguais ( vyx=vxy), somamos:
uxx+uyy=vyx-vxy=0
Logo uxx+uyy=0, ou seja, u é harmônica.

Passo 4

De modo análogo, para v usamos
vxx = partialpartial x(vx) = partialpartial x(-uy) = -,uyx,
vyy = partialpartial y(vy) = partialpartial y(ux) = uxy
Pela igualdade das mistas de u ( uxy=uyx), temos
vxx+vyy=-uyx+uxy=0
Portanto vxx+vyy=0, e v também é harmônica.

Resposta

Tanto u quanto v satisfazem wxx+wyy=0 em Omega, isto é, são funções harmônicas.

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