Mostre que se
for uma função analítica complexa definida em uma região
contida no plano complexo
, (
), então
e
serão funções harmônicas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é analítica em uma região
, então as componentes reais
e
são harmônicas, isto é, satisfazem a equação de Laplace
para
e
. Vamos usar o fato de que analiticidade implica nas equações de Cauchy–Riemann e na existência de derivadas parciais contínuas de segunda ordem.
Passo 2
Como
é analítica,
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
e além disso todas as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas em
.
Passo 3
Para mostrar que
é harmônica, calculamos
e
Como as derivadas mistas de
são iguais (
), somamos:
Logo
, ou seja,
é harmônica.
Passo 4
De modo análogo, para
usamos
Pela igualdade das mistas de
(
), temos
Portanto
, e
também é harmônica.
Resposta
Tanto
quanto
satisfazem
em
, isto é, são funções harmônicas.