Resolva o problema de Dirichlet para o anel
, com dados de fronteira
e
, onde
e
são constantes dadas.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no anel
em coordenadas polares, com condições de contorno constantes
O conteúdo principal é reconhecer simetria radial e resolver a equação
reduzida a uma EDO em
.
Passo 2
Como as condições de contorno não dependem de
, a solução também não depende de
. Logo, buscamos
. Nesse caso a laplaciana em polares
vira a EDO
Passo 3
Para resolver
multiplicamos por
e reconhecemos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Aplicando
e
em
:
para temos
para
e para
temos
Passo 5
Substituindo
e
em
, obtemos