Resolva o problema de Dirichlet para o anel 1<r<2, com dados de fronteira u(1, theta)=a e u(2, theta)=b, onde a e b são constantes dadas.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no anel 1<r<2 em coordenadas polares, com condições de contorno constantes
u(1,theta)=a, u(2,theta)=b
O conteúdo principal é reconhecer simetria radial e resolver a equação De<a u=0 reduzida a uma EDO em r.

Passo 2

Como as condições de contorno não dependem de theta, a solução também não depende de theta. Logo, buscamos u(r,theta)=u(r). Nesse caso a laplaciana em polares
De<a u = urr + 1rur + 1r^2uthetatheta
vira a EDO
d^2udr^2 + 1rdudr = 0

Passo 3

Para resolver
d^2udr^2 + 1rdudr = 0
multiplicamos por r e reconhecemos
l(r,u'(r)r)'=0 Longrightarrow r,u'(r)=C Longrightarrow u'(r)=Cr Longrightarrow u(r)=Cln r + D,
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 4

Aplicando u(1)=a e u(2)=b em u(r)=Cln r + D:
para r=1 temos
a = Cln1 + D = D,
e para r=2 temos
b = Cln2 + D = Cln2 + a Longrightarrow C = b - aln2

Passo 5

Substituindo C e D em u(r)=Cln r + D, obtemos
u(r) = a + b - aln2,ln r

Resposta

u(r,theta) = a + b - aln2,ln r

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