Mostre que se
for harmônica em
, então
para todo
.
Passo 1
O enunciado nos diz que
é harmônica em
e pede para mostrar que, para todo
, vale
O conteúdo usado será a propriedade média de funções harmônicas, que derivamos aplicando derivação sob o sinal de integral e o teorema de Green.
Passo 2
Definimos a média angular de
no círculo de raio
como
Nosso objetivo é mostrar que
não depende de
e, portanto, é igual ao valor em
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
. Como podemos derivar sob o integral,
Passo 4
Note que em coordenadas polares a derivada radial
é justamente a derivada normal à curva
. Como o elemento de arco dessa curva vale
, temos
Passo 5
Pelo teorema de Green (identidade de Gauss) na região interior ao círculo de raio
,
Como
é harmônica,
, então a integral dupla é zero e segue que
logo
Passo 6
Se
para todo
, então
é constante. Em particular, tomando o limite
, nota-se que
pois
não depende de
. Portanto, para todo
vale
ou seja
Resposta
para todo
.