Mostre que se v(r, theta) for harmônica em Drho, então
v(0,0)=12 pi integral0^2 pi v(r, alpha) d alpha
para todo r<rho.

Passo 1

O enunciado nos diz que v(r,theta) é harmônica em Drho=(r,theta)mid 0<= r<rho,;0<=theta<2pi e pede para mostrar que, para todo r<rho, vale
v(0,0)=12piintegral0^2piv(r,alpha),dalpha
O conteúdo usado será a propriedade média de funções harmônicas, que derivamos aplicando derivação sob o sinal de integral e o teorema de Green.

Passo 2

Definimos a média angular de v no círculo de raio r como
A(r)=12piintegral0^2piv(r,theta),dtheta
Nosso objetivo é mostrar que A(r) não depende de r e, portanto, é igual ao valor em r=0.

Passo 3

Calculamos a derivada de A(r) em relação a r. Como podemos derivar sob o integral,
A'(r) =12piintegral0^2pipartial vpartial r(r,theta),dtheta

Passo 4

Note que em coordenadas polares a derivada radial partial v/partial r é justamente a derivada normal à curva ,r=const. Como o elemento de arco dessa curva vale ds=r,dtheta, temos
integral0^2pipartial vpartial r(r,theta),dtheta =1rintegral| x|=rpartial vpartial n,ds

Passo 5

Pelo teorema de Green (identidade de Gauss) na região interior ao círculo de raio r,
integral| x|=rpartial vpartial n,ds =integral dupla| x|<rDe<a v,dA
Como v é harmônica, De<a v=0, então a integral dupla é zero e segue que
integral0^2pipartial vpartial r(r,theta),dtheta=0,
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A'(r)=0

Passo 6

Se A'(r)=0 para todo r<rho, então A(r) é constante. Em particular, tomando o limite rto0, nota-se que
A(0) =12piintegral0^2piv(0,theta),dtheta =v(0,0),
pois v(0,theta) não depende de theta. Portanto, para todo r<rho vale
A(r)=v(0,0),
ou seja
v(0,0) =12piintegral0^2piv(r,alpha),dalpha

Resposta

v(0,0) =12piintegral0^2piv(r,alpha),dalpha,
para todo r<rho.

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