Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(m) integral2^infty 1x^2+2 x-3 d x;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral2^infty1x^2+2x-3,dx
e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve integrais em intervalos ilimitados (tipo I), uso do teste de comparação para convergência e decomposição em frações parciais para cálculo.

Passo 2

Verificamos primeiro singularidades e convergência por comparação. O denominador fatorado é
x^2+2x-3=(x-1)(x+3),
cujo zeros x=1 e x=-3 ficam fora do intervalo [2,infty), então não há descontinuidade interior. Para xtoinfty,
1x^2+2x-3sim1x^2
Como
integral2^inftyx^-2,dx
converge (caso p=2>1), nossa integral também converge por comparação.

Passo 3

Agora decompondo em frações parciais:
1x^2+2x-3=Ax-1+Bx+3
Multiplicando por (x-1)(x+3) e igualando coeficientes:
1=A(x+3)+B(x-1)=(A+B)x+(3A-B),
A+B=0, 3A-B=1, Longrightarrow A=14,;B=-14

Passo 4

A integral indefinida é
integral1x^2+2x-3,dx =14integraldxx-1-14integraldxx+3 =14lnlvert x-1rvert-14lnlvert x+3rvert+C =14lnx-1x+3+C

Passo 5

Avaliamo de 2 até T e depois Ttoinfty:
integral2^T1x^2+2x-3,dx =[14lnx-1x+3]2^T =14lnT-1T+3-14ln15
Como lnT-1T+3to0 quando Ttoinfty e ln15=-ln5, segue
integral2^infty1x^2+2x-3,dx =0-l(-14ln5r) =14ln5

Resposta

A integral converge e vale 14ln5.

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