Mostre que se
for harmônica, então as funções definidas a seguir serão também harmônicas:
, onde
e
são constantes quaisquer e
é uma matriz ortogonal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é harmônica, ou seja
então as funções
também satisfazem
,
e
. Para isso usaremos a regra da cadeia e as propriedades de transformações lineares (translação, dilatação e rotação/espelho).
Passo 2
Para
defina
Pela regra da cadeia:
Ainda pela cadeia:
Somando,
Logo
é harmônica.
Passo 3
Para
defina
Pela cadeia:
Logo
portanto
é harmônica.
Passo 4
Para
defina
Pela regra da cadeia:
Derivando de novo,
Somando as duas:
Como
é ortogonal, vale
,
e
. Logo
ou seja,
é harmônica.
Resposta
As três funções
,
e
são harmônicas.