Mostre que se u: R^2 R for harmônica, então as funções definidas a seguir serão também harmônicas: v(x, y)=u(x-a, y-b), w(x, y)= =u(lambda x, lambda y), z(x, y)=u(alpha x+beta y, gamma x+de<a y), onde a, b e lambda são constantes quaisquer e [llalpha & beta gamma & de<a] é uma matriz ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se u:R^2toR é harmônica, ou seja
De<a u(x,y)=uxx(x,y)+uyy(x,y)=0forall,(x,y),
então as funções
v(x,y)=u(x-a,y-b), w(x,y)=u(lambda x,lambda y), z(x,y)=u(alpha x+beta y,;gamma x+de<a y)
também satisfazem De<a v=0, De<a w=0 e De<a z=0. Para isso usaremos a regra da cadeia e as propriedades de transformações lineares (translação, dilatação e rotação/espelho).

Passo 2

Para v(x,y)=u(x-a,y-b) defina
X=x-a, Y=y-b
Pela regra da cadeia:
vx(x,y)=uX(X,Y)partial Xpartial x+uY(X,Y)partial Ypartial x =uX(X,Y)cdot1+uY(X,Y)cdot0 =uX(X,Y),
vy(x,y)=uX(X,Y)cdot0+uY(X,Y)cdot1=uY(X,Y)
Ainda pela cadeia:
vxx(x,y)=uXX(X,Y), vyy(x,y)=uYY(X,Y)
Somando,
De<a v(x,y)=vxx+vyy =uXX(X,Y)+uYY(X,Y) =De<a u(X,Y)=0
Logo v é harmônica.

Passo 3

Para w(x,y)=u(lambda x,lambda y) defina
X=lambda x, Y=lambda y
Pela cadeia:
wx=lambda,uX, wy=lambda,uY Longrightarrow wxx=lambda^2uXX,;;wyy=lambda^2uYY
Logo
De<a w=wxx+wyy =lambda^2l(uXX+uYYr) =lambda^2,De<a u=0,
portanto w é harmônica.

Passo 4

Para
z(x,y)=u(alpha x+beta y,;gamma x+de<a y)
defina
X=alpha x+beta y, Y=gamma x+de<a y
Pela regra da cadeia:
zx=uX,alpha+uY,gamma, zy=uX,beta+uY,de<a
Derivando de novo,
zxx =uXXalpha^2+2,uXY,alphagamma+uYYgamma^2,
zyy =uXXbeta^2+2,uXY,betade<a+uYYde<a^2
Somando as duas:
De<a z =zxx+zyy =uXX(alpha^2+beta^2) +2,uXY(alphagamma+betade<a) +uYY(gamma^2+de<a^2)
Como alpha&betagamma&de<a é ortogonal, vale
alpha^2+beta^2=1, gamma^2+de<a^2=1 e alphagamma+betade<a=0. Logo
De<a z =uXX+uYY =De<a u=0,
ou seja, z é harmônica.

Resposta

As três funções v, w e z são harmônicas.

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