Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(i) integral-infty^-3 x4-x^2 d x;

Passo 1

No enunciado temos a integral imprópria
integral-infty^-3 x4 - x^2,dx
devido ao limite inferior em -infty. O conteúdo envolve achar a primitiva de uma função racional e estudar o comportamento do resultado quando xto -infty para decidir convergência.

Passo 2

Para encontrar a primitiva de x4 - x^2 observamos que
ddxlnlvert 4 - x^2rvert = -2x4 - x^2,
logo podemos escrever
integral x4 - x^2,dx = -tfrac12 integral -2x4 - x^2,dx = -tfrac12 lnlvert 4 - x^2rvert + C

Passo 3

Usamos essa primitiva para avaliar o integral de A até -3 e depois fazemos Ato -infty:
integralA^-3 x4 - x^2,dx = l[-tfrac12 lnlvert 4 - x^2rvertr]x=A^x=-3 = -tfrac12l(lnlvert 4 - 9rvert - lnlvert 4 - A^2rvertr) = -tfrac12l(ln 5 - ln(A^2 - 4)r)
Quando Ato -infty vem A^2 - 4to +infty, então
ln(A^2 - 4)to +infty Longrightarrow -tfrac12l(ln 5 - ln(A^2 - 4)r)to +infty
Portanto a integral não se aproxima de um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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