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Questão 2: Calcule utilizando integral dupla, o volume do sólido que está entre os paraboloides z=2-x^2-y^2 e z=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide z=2 - x^2 - y^2 e abaixo pelo plano z=0. O conteúdo é cálculo de volume por integral dupla, usando coordenadas polares para simplificar, já que a projeção no plano xy é um disco.

Passo 2

Determinar a região de projeção R no plano xy. Como queremos 2 - x^2 - y^2>=0, temos
x^2+y^2<=2
Logo, R é o disco de raio raiz2 centrado na origem.

Passo 3

Expressar o volume V como integral dupla sobre R:
V = integral duplaRl(2 - x^2 - y^2r),dA

Passo 4

Passar para coordenadas polares: x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta. A integral fica
V = integraltheta=0^2piintegralr=0^raiz2l(2 - r^2r),r,dr,dtheta

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
integral0^raiz2 l(2r - r^3r),dr = l[r^2 - tfracr^44r]0^raiz2 = l(2 - 1r) = 1

Passo 6

Calcular a integral em theta:
V = integral0^2pi 1,dtheta = 2pi

Resposta

O volume do sólido é 2pi.

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