Nome
Questão 10: Calcule
a) cálcule a área do disco circular de raio R usando integral dupla B=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= R^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do disco de raio R
B = (x,y)inR^2 mid x^2+y^2<= R^2
usando uma integral dupla. O conteúdo envolve mudança para coordenadas polares e uso do jacobiano para integrar sobre a região circular.

Passo 2

Para obter a área do disco, observamos que em geral a área de uma região D é dada por
Área(D) = integral duplaD 1 ,dA Á
No nosso caso, D=B, então
Área(B) = integral duplaB 1 ,dA Á

Passo 3

Como B é um disco, é natural usar coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde o elemento de área se transforma em dA = r,dr,dtheta. Os limites são
0<= r<= R, 0<= theta<= 2pi
Portanto a integral vira
Área(B) = integraltheta=0^2piintegralr=0^R 1cdot r,dr,dtheta Á

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^R r,dr = [r^22]0^R = R^22
Agora integramos em theta:
integral0^2pi R^22,dtheta = R^22,l[,thetar]0^2pi = R^22cdot 2pi = pi R^2

Resposta

A área do disco de raio R é pi R^2.

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