Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(h) integral-infty^0 x(x^2+1)^3 d x;

Passo 1

Estamos analisando a integral imprópria
integral-infty^0x(x^2+1)^3,dx
O conteúdo aqui é cálculo de integrais impróprias com limite de integração indo a -infty. Para resolver precisamos 1) encontrar uma primitiva da função x(x^2+1)^3 e 2) avaliar o limite da primitiva quando a variável tende a -infty.

Passo 2

Vamos achar a primitiva por substituição. Seja u = x^2+1. Então
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
A integral indefinida fica
integral x(x^2+1)^3,dx = integral 1u^3cdotdu2 = 12integral u^-3du = 12cdotu^-2-2+C = -14u^2+C
Voltando a x, obtemos
integral x(x^2+1)^3,dx = -14,(x^2+1)^2+C

Passo 3

Agora avaliamos a integral imprópria pelo limite
integral-infty^0x(x^2+1)^3,dx =limRtoinfty integral-R^0x(x^2+1)^3,dx =limRtoinfty l[-14,(x^2+1)^2r]x=-R^x=0
Calculando os extremos:
em x=0 vale -tfrac14,(0+1)^2=-tfrac14,
em x=-R vale -tfrac14,((R^2+1)^2).
Logo
integral-R^0x(x^2+1)^3,dx = -14 - l(-14,(R^2+1)^2r) = -14 + 14,(R^2+1)^2
Tomando Rtoinfty, o segundo termo tende a zero, pois (R^2+1)^2toinfty.

Passo 4

O limite existe e é finito, portanto a integral converge. O valor final é
limRtoinftyl(-tfrac14 + tfrac14,(R^2+1)^2r) = -tfrac14

Resposta

A integral converge e seu valor é -tfrac14.

Exercícios relacionados