Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(l) integral-infty^infty xx^2+1 d x;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
integral-infty^infty xx^2+1,dx,
que envolve o teste de convergência de integrais com limites infinitos. Vamos dividir em duas integrais impróprias e usar a antiderivada de xx^2+1.

Passo 2

Dividimos a integral em
integral-infty^infty xx^2+1,dx =integral-infty^0xx^2+1,dx +integral0^inftyxx^2+1,dx
A antiderivada de xx^2+1 é
integral xx^2+1,dx =12lnl(x^2+1r)+C

Passo 3

Calculemos a parte de 0 até infty:
integral0^inftyxx^2+1,dx =limatoinftygl[12lnl(x^2+1r)gr]0^a =limatoinfty12lnl(1+a^2r) =+infty
Logo essa integral diverge para +infty.

Passo 4

Agora a parte de -infty até 0:
integral-infty^0xx^2+1,dx =limbtoinftygl[12lnl(x^2+1r)gr]-b^0 =limbtoinftyl(0-tfrac12lnl(1+b^2r)r) =-infty
Essa integral diverge para -infty.

Passo 5

Como cada uma das integrais parciais diverge (uma para +infty e outra para -infty), a integral imprópria
integral-infty^inftyxx^2+1,dx
num sentido estrito não converge. Note que, embora seja uma função ímpar e o valor principal de Cauchy seja zero, os limites separados não convergem.

Resposta

A integral diverge.

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