Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
2^n<n ! para todo n >= 4, n in N

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove, por indução, que para todo ninN com n>= 4 vale 2^n < n!. Então a estratégia é checar o caso base em n=4 e depois mostrar o passo indutivo.

Passo 2

No caso base n=4, temos 2^4 = 16 e 4! = 24. Como 16<24, o caso base está confirmado.

Passo 3

Suponha agora, como hipótese de indução, que para algum k>= 4 já seja verdade
2^k < k!
Precisamos provar que
2^k+1 < (k+1)!
Usando a hipótese,
2^k+1 = 2cdot2^k < 2cdot k!
E como k+1>= 5>2, fica
2cdot k! < (k+1)cdot k! = (k+1)!
Logo
2^k+1 < (k+1)!,
que é justamente o passo indutivo que a gente queria.

Passo 4

Assim, pelo Princípio de Indução Finita, concluímos que para todo n>= 4, 2^n < n!.

Resposta

A desigualdade 2^n < n! vale para todo ninN com n>= 4.

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