Verifique se são subgrupos: do grupo multiplicativo M2(R) de matrizes com determinante não nulo.
Passo 1
O enunciado define
T = l1 & a[0.3em]0 & 1m|,ainRr
como um possível subgrupo do grupo multiplicativo
GL(2,R) = ,Ain M2(R)mid det Aneq0
Para mostrar que T é subgrupo, vamos verificar três propriedades: 1. que o elemento identidade de GL(2,R) está em T, 2. que T é fechado sob multiplicação, 3. que todo elemento de T tem inverso em T.]
Passo 2
Verificamos o elemento identidade de GL(2,R), que é
I = 1&00&1
Como basta tomar a=0 em 1 & a0 & 1, vemos que
I = 1 & 00 & 1;in T
Passo 3
Fechamento sob multiplicação. Tomemos A=1 & a0 & 1
e B=1 & b0 & 1
com a,binR. Então
AB = 1 & a0 & 1 1 & b0 & 1 = 1 & a+b0 & 1
Como a+binR, concluímos que ABin T.
Passo 4
Existência de inverso em T. Para A=1 & a0 & 1,
sabemos pela teoria de matrizes triangulares que
A^-1 = 1 & -a0 & 1,
e claramente -ainR, logo A^-1in T.
Resposta
T satisfaz identidade, fechamento e inversos, portanto é subgrupo de GL(2,R).