Verifique se são subgrupos:
S=a+b raiz3 mid a, b in Q e não ambos nulos de (R^*, cdot).

Passo 1

O enunciado define
S = ,a + braiz3mid a,binQ e não ambos nulos ã
como um subconjunto de (R^*,cdot). Para mostrar que S é subgrupo, precisamos verificar três propriedades: identidade, fechamento e inverso.

Passo 2

Identidade: o elemento neutro de (R^*,cdot) é 1. Como
1 = 1 + 0raiz3
e 1,0inQ (não ambos zero), segue que 1in S.

Passo 3

Fechamento sob produto: sejam
x = a + braiz3, y = c + draiz3
com a,b,c,dinQ e nenhum par (a,b), (c,d) ambos nulos. Então
xy = (a + braiz3)(c + draiz3) = (ac + 3bd) + (ad + bc)raiz3
Como ac+3bd e ad+bc são racionais, e xyneq0 (pois xneq0 e yneq0), concluímos que xyin S.

Passo 4

Inverso: seja x = a + braiz3in S. Como xneq0, tem-se
x^-1 = 1a + braiz3 = a - braiz3a^2 - 3b^2 = aa^2 - 3b^2 ;+; -ba^2 - 3b^2raiz3
Aqui a^2-3b^2neq0 (caso contrário raiz3 seria racional) e os coeficientes são racionais, não ambos zero. Logo x^-1in S.

Resposta

S é subgrupo de (R^*,cdot).

Exercícios relacionados