Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução finita sobre
, a fórmula
O conteúdo é “prova por indução” e vamos precisar conhecer a estrutura básica de um argumento indutivo: caso base, hipótese indutiva e passo indutivo.
Passo 2
(Caso base) Para
temos
Do outro lado, a soma telescópica fica com só um termo:
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para um
arbitrário valha
Passo 4
(Passo indutivo) Precisamos mostrar que
Começamos reescrevendo
Pela hipótese indutiva substituímos
:
Fatorando
:
Mas
Portanto
que é exatamente a fórmula desejada para
.
Passo 5
Como o caso base vale e o passo indutivo foi estabelecido, concluímos por indução que a fórmula é verdadeira para todo
.