Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2 b+a^n-3 b^2+a^n-4 b^3+cdots+a^2 b^n-3+a b^n-2+b^n-1)

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução finita sobre ninN, a fórmula
a^n-b^n = (a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1r)
O conteúdo é “prova por indução” e vamos precisar conhecer a estrutura básica de um argumento indutivo: caso base, hipótese indutiva e passo indutivo.

Passo 2

(Caso base) Para n=1 temos
a^1-b^1=a-b
Do outro lado, a soma telescópica fica com só um termo:
(a-b)l(a^1-1b^0r)=(a-b)cdot1=a-b
Logo a fórmula vale para n=1.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para um n>=1 arbitrário valha
a^n-b^n = (a-b)sumk=0^n-1a^,n-1-kb^,k

Passo 4

(Passo indutivo) Precisamos mostrar que
a^n+1-b^n+1 = (a-b)sumk=0^na^,n-kb^,k
Começamos reescrevendo
a^n+1-b^n+1 = acdot a^n-bcdot b^n = al(a^n-b^nr) ;+; b^n(a-b)
Pela hipótese indutiva substituímos a^n-b^n=(a-b)sumk=0^n-1a^,n-1-kb^,k:
a^n+1-b^n+1 = a,(a-b)sumk=0^n-1a^,n-1-kb^,k ;+; b^n(a-b)
Fatorando (a-b):
a^n+1-b^n+1 = (a-b)l(asumk=0^n-1a^,n-1-kb^,k + b^nr)
Mas
asumk=0^n-1a^,n-1-kb^,k =sumk=0^n-1a^,n-kb^,k Longrightarrow sumk=0^n-1a^,n-kb^,k+b^n =sumk=0^na^,n-kb^,k
Portanto
a^n+1-b^n+1 = (a-b)sumk=0^na^,n-kb^,k,
que é exatamente a fórmula desejada para n+1.

Passo 5

Como o caso base vale e o passo indutivo foi estabelecido, concluímos por indução que a fórmula é verdadeira para todo ninN.

Resposta

boxed a^n-b^n = (a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1r)

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