Determine as seguintes integrais indefinidas
integral(2 x+1)^2 d x.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida de (2x + 1)^2 em relação a x . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável).

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = 2x + 1 . Essa substituição ajuda a tornar a expressão mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de u em relação a x :
dudx = 2 implies du = 2 , dx implies dx = du2

Passo 4

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral (2x + 1)^2 , dx = integral u^2 cdot du2 = 12 integral u^2 , du

Passo 5

Integrando u^2 :
12 integral u^2 , du = 12 cdot u^33 + C = u^36 + C

Passo 6

Substituímos u de volta por 2x + 1 :
(2x + 1)^36 + C

Resposta

A integral indefinida é (2x + 1)^36 + C .

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