Determine as seguintes integrais indefinidas
integral 4 t-3raiz[3]t d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a integral indefinida de 4 t - 3raiz[3]t. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integração de funções racionais envolvendo raízes e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com potências de t e como integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz cúbica de t pode ser escrita como t^1/3. Então, a integral fica:
integral 4 t - 3t^1/3 , dt

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador, ou seja, dividir 4t e -3 por t^1/3. Isso nos dá:
integral ( 4tt^1/3 - 3t^1/3 ) , dt

Passo 4

Simplificando as frações, lembrando que t^a / t^b = t^a - b, temos:
integral ( 4t^1 - 13 - 3t^-13 ) , dt
Ou seja:
integral ( 4t^23 - 3t^-13 ) , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para potências de t é:
integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C

Passo 6

Aplicando essa regra ao primeiro termo, 4t^23, temos:
4 cdot t^23 + 123 + 1 = 4 cdot t^5353 = 125 t^53

Passo 7

Agora, integrando o segundo termo, -3t^-13:
-3 cdot t^-13 + 1-13 + 1 = -3 cdot t^2323 = -92 t^23

Resposta

Juntando tudo, a integral indefinida é:
125 t^53 - 92 t^23 + C

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