Determine as seguintes integrais indefinidas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a integral indefinida de
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integração de funções racionais envolvendo raízes e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com potências de t e como integrar cada termo separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz cúbica de t pode ser escrita como
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador, ou seja, dividir
e
por
. Isso nos dá:
Passo 4
Simplificando as frações, lembrando que
, temos:
Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para potências de t é:
Passo 6
Aplicando essa regra ao primeiro termo,
, temos:
Passo 7
Agora, integrando o segundo termo,
:
Resposta
Juntando tudo, a integral indefinida é: