Determine se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes. Caso seja converte determine o valor a integral.
.
Passo 1
Beleza, a gente precisa ver se a integral imprópria
converge e, em caso positivo, achar o valor. O conteúdo aqui é reconhecer o tipo impróprio (limite no infinito) e usar a antiderivada de .
converge e, em caso positivo, achar o valor. O conteúdo aqui é reconhecer o tipo impróprio (limite no infinito) e usar a antiderivada de
Passo 2
Transformamos em definição de integral imprópria:
Isso significa calcular a integral de
a
e depois ver o que acontece quando
cresce sem limite.
Passo 3
Sabemos de cálculo que
ou seja, uma primitiva de
é
.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo
,
Passo 5
Agora tomamos o limite
. Como
e
, fica
Logo a integral converge e dá
.
Resposta
A integral é convergente e vale
.