Determine se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes. Caso seja converte determine o valor a integral.
integral1^infty d xx^2+1.

Passo 1

Beleza, a gente precisa ver se a integral imprópria
integral1^inftydxx^2+1
converge e, em caso positivo, achar o valor. O conteúdo aqui é reconhecer o tipo impróprio (limite no infinito) e usar a antiderivada de tfrac1x^2+1.

Passo 2

Transformamos em definição de integral imprópria:
integral1^inftydxx^2+1 = limbtoinftyintegral1^bdxx^2+1
Isso significa calcular a integral de 1 a b e depois ver o que acontece quando b cresce sem limite.

Passo 3

Sabemos de cálculo que
ddxl(arctan xr)=1x^2+1,
ou seja, uma primitiva de tfrac1x^2+1 é arctan x.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo [1,b],
integral1^bdxx^2+1 =l[arctan xr]1^b =arctan(b)-arctan(1)

Passo 5

Agora tomamos o limite btoinfty. Como limxtoinftyarctan x=tfracpi2 e arctan(1)=tfracpi4, fica
limbtoinftyl(arctan(b)-arctan(1)r) =pi2-pi4 =pi4
Logo a integral converge e dá tfracpi4.

Resposta

A integral é convergente e vale pi4.

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