Seja . Calcule lim x 3^- f(x), lim x 3^+ f(x), lim x 3 f(x), lim x 5^- f(x), lim x 5^+ f(x) e lim x 5 f(x). Esboçar o gráfico de f.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= x-1, & x<=3, 3x-7, & x>3,
e pede os limites laterais em x=3 e x=5, o limite geral nesses pontos e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar a definição de limite para funções definidas por partes e depois desenhar cada ramo.
Passo 2
Para limxto3^-f(x) só posso usar o trecho x-1, pois estamos nos aproximando de 3 pela esquerda (valores <=3). Logo
limxto3^-f(x)=limxto3^-(x-1)=3-1=2
Passo 3
Para limxto3^+f(x) uso o trecho 3x-7, pois agora x>3. Então
limxto3^+f(x)=limxto3^+(3x-7)=3cdot3-7=9-7=2
Passo 4
Como as duas consequ^encias laterais em x=3 coincidem (2), o limite geral existe e vale
limxto3 f(x) = 2
Passo 5
Para limxto5^-f(x), note que 5>3, então mesmo à esquerda de 5 estamos no segundo trecho 3x-7. Assim
limxto5^-f(x)=limxto5^-(3x-7)=3cdot5-7=15-7=8
Passo 6
Para limxto5^+f(x) continuamos com x>3, ou seja, ainda 3x-7. Logo
limxto5^+f(x)=limxto5^+(3x-7)=3cdot5-7=8
Passo 7
As duas laterais em x=5 são iguais (8), então
limxto5f(x)=8
Passo 8
O gráfico de f é a união de duas retas que se encontram em (3,2):
reta 1: y=x-1 para x<=3,
reta 2: y=3x-7 para x>3
Ambas avaliam 2 em x=3, garantindo continuidade ali, mas com mudança de inclinação.