1. sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
sumk=1^infty 2^k-2 + 3^k+15^k
O conteúdo principal aqui é série de termos que envolvem potências, logo podemos usar a soma de séries geométricas. Lembrando que, para lvert rrvert<1,
sumk=1^infty r^k = r1-r

Passo 2

Vamos separar a soma em duas séries mais simples:
sumk=1^infty 2^k-2 + 3^k+15^k = sumk=1^infty 2^k-25^k + sumk=1^infty 3^k+15^k

Passo 3

Para a primeira parte, observe que
2^k-25^k = 2^-2,2^k5^k = 14l(25r)^k
Como lvert 2/5rvert<1, aplicando a fórmula da série geométrica,
sumk=1^infty 2^k-25^k = 14sumk=1^inftyl(25r)^k = 14,tfrac251-tfrac25 = 14,tfrac25tfrac35 = 14cdot23 = 16

Passo 4

Para a segunda parte, note que
3^k+15^k = 3;3^k5^k = 3l(35r)^k
Como lvert 3/5rvert<1, temos
sumk=1^infty 3^k+15^k = 3sumk=1^inftyl(35r)^k = 3,tfrac351-tfrac35 = 3,tfrac35tfrac25 = 3cdot32 = 92

Passo 5

Somando as duas partes,
sumk=1^infty 2^k-25^k + sumk=1^infty 3^k+15^k = 16 + 92 = 16 + 276 = 286 = 143

Resposta

143

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