Determine quais das seguintes integrais são divergentes:
Escolha uma ou mais:
integral0^1 x^5raiz[3]x^3+1 d x

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e entender o que precisamos fazer. Temos a integral definida:
integral0^1 x^5raiz[3]x^3+1 , dx
O conteúdo que vamos utilizar é o estudo de integrais definidas e a análise de convergência ou divergência de integrais. Precisaremos avaliar se essa integral possui um valor finito (convergente) ou se tende ao infinito (divergente).

Passo 2

Primeiro, analisamos o comportamento da função integranda x^5raiz[3]x^3+1 no intervalo de integração [0, 1]. Precisamos verificar se há algum ponto no intervalo onde a função possa se tornar infinita ou indefinida, o que poderia levar à divergência.
No denominador, temos raiz[3]x^3 + 1. Para x entre 0 e 1, x^3 está entre 0 e 1, então x^3 + 1 está entre 1 e 2. A raiz cúbica de um número entre 1 e 2 é bem definida e positiva, portanto, o denominador nunca é zero ou indefinido nesse intervalo.

Passo 3

Como a função integranda está bem definida e finita em todo o intervalo de integração, podemos comparar com uma função mais simples para confirmar a convergência. Observamos que:
x^5raiz[3]x^3+1 <= x^5
Isso ocorre porque raiz[3]x^3+1 >= 1 para todo x em [0, 1]. Sabemos que:
integral0^1 x^5 , dx = [ x^66 ]0^1 = 16
Este resultado é finito, ou seja, a integral de x^5 de 0 a 1 converge.

Passo 4

Portanto, a função x^5raiz[3]x^3+1 é limitada por uma função que tem uma integral finita no mesmo intervalo. Assim, pela comparação, a integral original também converge.

Resposta

A integral
integral0^1 x^5raiz[3]x^3+1 , dx
é convergente.

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