Determine os seguintes limites, caso existam
\begin{array}{ll} \lim _{(x, y) \rightarrow(-1,-2)}\left(x^{2} y-x y^{2}+3\right)^{3} & \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}} \\\ \lim _{(x, y) \rightarrow(\pi, 1 / 2)} e^{x y} \operatorname{sen} x y & \lim _{(x, y, z) \rightarrow(6,1,-2)} \sqrt{x+z} \cos (\pi y) \\\ \lim _{(x, y) \rightarrow(2,3)} \frac{3 x-2 y}{4 x^{2}-y^{2}} & \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x y+y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \\\ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} \cos y}{x^{2}+y^{4}} & \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x y+y z^{2}+x z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{4}} \\\ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1} & \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x^{4}+y^{2}+z^{3}}{x^{4}+2 y^{2}+z} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede calcular dez limites de funções de duas ou três variáveis nos pontos indicados. Para resolver usamos três ideias principais:
  1. Quando a função for composta por operações (soma, produto, potência, exponencial, seno, cosseno, raiz etc.) todas contínuas, basta fazer a substituição direta.
  2. Se ao substituir obtemos uma forma “ 0/0” ou algo indeterminado, investigamos limites por caminhos diferentes (reta, parábola, etc.) para ver se o resultado depende do caminho; se depender, o limite não existe.
  3. Para expressões do tipo \frac{\text{algo}}{\sqrt{\cdots}-1}, podemos racionalizar o denominador multiplicando por \sqrt{\cdots}+1.

Passo 2

Limite 1:
\lim_{(x,y)\to(-1,-2)}\bigl(x^2y - xy^2 +3\bigr)^3.
A função interna x^2y - xy^2 +3 é contínua, logo
x^2y - xy^2 +3\Big|_{(x,y)=(-1,-2)} =(-1)^2(-2)-(-1)(-2)^2+3 =-2+4+3=5,
e elevando ao cubo dá 5^3=125.
Limite 2:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y^4}{x^2+y^8}.
Substituindo direto dá 0/0. Pelo caminho x=ky^4 temos
\frac{(k\,y^4)\,y^4}{(k\,y^4)^2+y^8} =\frac{k\,y^8}{k^2y^8+y^8} =\frac{k}{k^2+1},
que depende de k. Logo o limite não existe.

Passo 3

Limite 3:
\lim_{(x,y)\to(\pi,\tfrac12)}e^{xy}\,\operatorname{sen}(xy).
As funções exponencial e seno são contínuas, então basta substituir x=\pi, y=\tfrac12:
e^{\pi/2}\,\operatorname{sen}(\pi/2)=e^{\pi/2}\cdot1=e^{\pi/2}.
Limite 4:
\lim_{(x,y,z)\to(6,1,-2)}\sqrt{x+z}\,\cos(\pi y).
Substituindo x+z=6-2=4 e y=1
\sqrt{4}\,\cos(\pi\cdot1) =2\cdot(-1)=-2.

Passo 4

Limite 5:
\lim_{(x,y)\to(2,3)}\frac{3x-2y}{4x^2-y^2}.
Substituindo direto obtém-se
3\cdot2-2\cdot3=6-6=0, \quad 4\cdot2^2-3^2=16-9=7,
logo 0/7=0.
Limite 6:
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{x y+y z}{x^2+y^2+z^2}.
Substituindo dá 0/0. Pelo caminho z=0, y=x temos
\frac{x\cdot x+ x\cdot0}{x^2+x^2+0} =\frac{x^2}{2x^2}=\tfrac12,
enquanto no caminho y=0, z=0 dá zero. Como há dependência do caminho, o limite não existe.

Passo 5

Limite 7:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y^2\cos y}{x^2+y^4}.
Substituindo direto dá 0/0. No caminho x=y^2 obtemos
\frac{y^2\cdot y^2\cdot\cos y}{y^4+y^4} \approx\frac{y^4}{2y^4}=\tfrac12,
enquanto em y=0 o valor é zero. Logo não existe.
Limite 8:
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{x y+y z^2+x z^2}{x^2+y^2+z^4}.
Substituindo direto dá 0/0. No caminho x=0,\;y^2=z obtemos
\frac{0 + y\,(y^2)^2 +0}{0 + y^2 + (y^2)^2} =\frac{y^5}{y^2+y^4} =\frac{y^3}{1+y^2}\to0\quad(\text{ao variar}),
mas em outro caminho (por exemplo z=0,\;y=x) dá \tfrac12. Logo independe do caminho e o limite não existe.

Passo 6

Limite 9:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}.
Racionalizando o denominador:
\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1} \cdot\frac{\sqrt{x^2+y^2+1}+1}{\sqrt{x^2+y^2+1}+1} =\frac{(x^2+y^2)\bigl(\sqrt{x^2+y^2+1}+1\bigr)}{(x^2+y^2+1)-1} =\sqrt{x^2+y^2+1}+1.
Tomando o limite em (0,0) vem \sqrt{1}+1=2.
Limite 10:
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{x^4+y^2+z^3}{x^4+2y^2+z}.
Substituindo direto dá 0/0. No caminho x=0,\;y^2=z obtemos
\frac{0 + y^2 + y^6}{0 +2y^2 + y^2} =\frac{y^2(1+y^4)}{3y^2} =\frac{1+y^4}{3}\to\tfrac13,
enquanto em y=0,\;z=0 0. Portanto não existe.

Resposta

  1. 125
  2. não existe
  3. e^{\pi/2}
  4. -2
  5. 0
  6. não existe
  7. não existe
  8. não existe
  9. 2
  10. não existe

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