Determine os seguintes limites, caso existam:
lim x 8(x-8raiz2 x-4)=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de x-8raiz2x-4 quando x se aproxima de 8. Isso está relacionado ao conteúdo de limites na matemática, especialmente quando a substituição direta leva a uma indeterminação do tipo 00. Vamos precisar de algumas manobras algébricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se a gente substituir x por 8 diretamente na expressão:
8-8raiz2 times 8 - 4 = 0raiz16 - 4 = 04 - 4 = 00
Viu só? A gente ficou com uma expressão indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos racionalizar o denominador. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de raiz2x - 4 é raiz2x + 4. Então, fazemos:
x-8raiz2x-4 times raiz2x+4raiz2x+4 = (x-8)(raiz2x+4)(raiz2x)^2 - 4^2
Aqui, usei a propriedade de que (a - b)(a + b) = a^2 - b^2.

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador:
(raiz2x)^2 - 4^2 = 2x - 16
Então, nossa expressão ficou:
(x-8)(raiz2x+4)2x - 16

Passo 5

Observa que no denominador temos 2x - 16, que pode ser fatorado como 2(x - 8). Então, a expressão fica:
(x-8)(raiz2x+4)2(x - 8)
Agora, podemos cancelar o termo (x - 8) no numerador e no denominador:
raiz2x + 42

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir x por 8 diretamente:
raiz2 times 8 + 42 = raiz16 + 42 = 4 + 42 = 82 = 4

Resposta

lim x 8(x-8raiz2 x-4) = 4

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