Determine os seguintes limites, caso existam:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de
quando
se aproxima de 8. Isso está relacionado ao conteúdo de limites na matemática, especialmente quando a substituição direta leva a uma indeterminação do tipo
. Vamos precisar de algumas manobras algébricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece se a gente substituir
por 8 diretamente na expressão:
Viu só? A gente ficou com uma expressão indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, vamos racionalizar o denominador. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de
é
. Então, fazemos:
Aqui, usei a propriedade de que
.
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador:
Então, nossa expressão ficou:
Passo 5
Observa que no denominador temos
, que pode ser fatorado como
. Então, a expressão fica:
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador e no denominador:
Passo 6
Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir
por 8 diretamente: