Faça o que se pede:
Se x<-2 prove que |1-|1+x||=-2-x.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que, se x < -2 , então |1 - |1 + x|| = -2 - x . Aqui, estamos trabalhando com a matéria de valor absoluto, que é parte da álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular expressões com valores absolutos e manipular inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do primeiro valor absoluto: |1 + x| . Como x < -2 , sabemos que 1 + x será negativo. Por exemplo, se x = -3 , então 1 + (-3) = -2 . O valor absoluto de um número negativo é o seu oposto, então |1 + x| = -(1 + x) = -1 - x .

Passo 3

Agora que sabemos que |1 + x| = -1 - x para x < -2 , vamos substituir isso na expressão original: |1 - |1 + x|| . Ficando assim:
|1 - (-1 - x)| = |1 + 1 + x| = |2 + x|

Passo 4

Observe que, como x < -2 , o valor 2 + x também será negativo. Por exemplo, se x = -3 , então 2 + (-3) = -1 . Portanto, |2 + x| = -(2 + x) = -2 - x .

Resposta

Assim, provamos que |1 - |1 + x|| = -2 - x para todo x < -2 .

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