Faça o que se pede:
Mostre que para todos os
, com
, tem-se
.
Mostre que para todos os
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para quaisquer números reais positivos
e
onde
, a fração
é menor que
. A matéria envolvida aqui é sobre funções e desigualdades. Para resolver isso, vamos comparar as duas expressões e entender como elas se comportam conforme
e
aumentam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Nosso objetivo é mostrar que se
, então
. Para isso, precisamos entender se a função
é crescente ou decrescente no intervalo considerado.
Passo 3
Para determinar se
é crescente, podemos calcular a derivada de
em relação a
. Se a derivada for positiva, a função é crescente; se for negativa, é decrescente.
A derivada de
é:
Passo 4
Vamos usar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que se temos
, a derivada é
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Agora, vamos analisar
.
- O numerador
é positivo quando . - O denominador
é sempre positivo para qualquer .
Portanto,
para
, o que significa que a função
é crescente nesse intervalo.
Passo 7
Como
é uma função crescente para
, se
e ambos são maiores que zero, então:
Ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que para todos os
com
, temos
.