Faça o que se pede:
Mostre que para todos os a, b in IR, com 0<a<b, tem-se a^22 a^2+1<b^22 b^2+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para quaisquer números reais positivos a e b onde 0 < a < b , a fração a^22a^2+1 é menor que b^22b^2+1 . A matéria envolvida aqui é sobre funções e desigualdades. Para resolver isso, vamos comparar as duas expressões e entender como elas se comportam conforme a e b aumentam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x) = x^22x^2+1 . Nosso objetivo é mostrar que se a < b , então f(a) < f(b) . Para isso, precisamos entender se a função f(x) é crescente ou decrescente no intervalo considerado.

Passo 3

Para determinar se f(x) é crescente, podemos calcular a derivada de f(x) em relação a x . Se a derivada for positiva, a função é crescente; se for negativa, é decrescente.
A derivada de f(x) é:
f'(x) = ddx ( x^22x^2+1 )

Passo 4

Vamos usar a regra do quociente para derivar f(x) . A regra do quociente diz que se temos uv , a derivada é u'v - uv'v^2 .
Aqui, u = x^2 e v = 2x^2+1 .
Calculando as derivadas:
u' = 2x e v' = 4x

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = (2x)(2x^2+1) - (x^2)(4x)(2x^2+1)^2
f'(x) = 4x^3 + 2x - 4x^3(2x^2+1)^2
f'(x) = 2x(2x^2+1)^2

Passo 6

Agora, vamos analisar f'(x) = 2x(2x^2+1)^2 .
  • O numerador 2x é positivo quando x > 0 .
  • O denominador (2x^2+1)^2 é sempre positivo para qualquer x .
Portanto, f'(x) > 0 para x > 0 , o que significa que a função f(x) é crescente nesse intervalo.

Passo 7

Como f(x) é uma função crescente para x > 0 , se a < b e ambos são maiores que zero, então:
f(a) < f(b)
Ou seja:
a^22a^2+1 < b^22b^2+1

Resposta

Portanto, mostramos que para todos os a, b in R com 0 < a < b , temos a^22a^2+1 < b^22b^2+1 .

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