Determine os seguintes limites, caso existam.
(1,0 pts)
(1,0 pts)
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas:
- A expressão é a razão entre um polinómio no numerador
e uma raiz quadrada no denominador . - A raiz está sempre bem definida para todo
real, e o denominador é positivo para todo . - O ponto de interesse é
(ou seja, é positivo e cresce sem limite).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): para limites quando
é útil “fatorar” o comportamento dominante em
. Aqui tanto
quanto
crescem como ordem de
, então vamos escrever a função de modo que separemos os termos que tendem a zero quando
.
Uma identidade útil e importante para explicar o passo é:
Isto vem do fato de que
. É preciso tomar cuidado com o valor absoluto: para
temos
, enquanto para
teríamos
.
Passo 3
Aplique a identidade ao denominador
. Para
(que é o caso no limite
) obtemos
. Então:
Substituindo isso na expressão original:
Passo 4
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por
(válido porque
, e estamos considerando
):
Esta forma é ótima porque as frações
e
tendem a
quando
.
Passo 5
Usando propriedades básicas de limites e a continuidade da função
em
, fazemos
termo a termo:
logo
Portanto
Passo 6
Interpretação final e dica rápida: o termo dominante no numerador é
e no denominador é
(para
), daí a razão tende a
. Se o limite fosse quando
, haveria que ter cuidado com o sinal de
e o resultado seria
.