Determine os seguintes limites, caso existam.
(1,0 pts) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+1}{\sqrt{4 x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{4x^{2}+1}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é a razão entre um polinómio no numerador x+1 e uma raiz quadrada no denominador \sqrt{4x^{2}+1}.
  • A raiz está sempre bem definida para todo x real, e o denominador é positivo para todo x.
  • O ponto de interesse é x\to+\infty (ou seja, x é positivo e cresce sem limite).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): para limites quando x\to\pm\infty é útil “fatorar” o comportamento dominante em x. Aqui tanto x+1 quanto \sqrt{4x^2+1} crescem como ordem de x, então vamos escrever a função de modo que separemos os termos que tendem a zero quando x\to\infty.
Uma identidade útil e importante para explicar o passo é:
\sqrt{a x^{2}+b}=|x|\sqrt{a+\frac{b}{x^{2}}}\quad\text{para }x\neq0.
Isto vem do fato de que \sqrt{x^{2}}=|x|. É preciso tomar cuidado com o valor absoluto: para x\to+\infty temos |x|=x, enquanto para x\to-\infty teríamos |x|=-x.

Passo 3

Aplique a identidade ao denominador \sqrt{4x^{2}+1}. Para x>0 (que é o caso no limite x\to+\infty) obtemos |x|=x. Então:
\sqrt{4x^{2}+1}=x\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}.
Substituindo isso na expressão original:
\frac{x+1}{\sqrt{4x^{2}+1}}=\frac{x+1}{x\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}.

Passo 4

Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por x (válido porque x\neq0, e estamos considerando x\to+\infty):
\frac{x+1}{x\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}=\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}.
Esta forma é ótima porque as frações \frac{1}{x} e \frac{1}{x^{2}} tendem a 0 quando x\to+\infty.

Passo 5

Usando propriedades básicas de limites e a continuidade da função \sqrt{\cdot} em (0,\infty), fazemos x\to+\infty termo a termo:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)=1,\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(4+\frac{1}{x^{2}}\right)=4,
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\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}=\sqrt{4}=2.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação final e dica rápida: o termo dominante no numerador é x e no denominador é \sqrt{4x^{2}}=2x (para x>0), daí a razão tende a \tfrac{1}{2}. Se o limite fosse quando x\to-\infty, haveria que ter cuidado com o sinal de |x| e o resultado seria -\tfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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