(1,5 pts) Determine o domínio de
g(x)=\sqrt{\frac{x+3}{4-2 x}} .

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o domínio da função
g(x)=\sqrt{\frac{x+3}{4-2x}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função tem uma raiz quadrada externa, portanto o radicando \dfrac{x+3}{4-2x} precisa ser maior ou igual a zero.
  • O radicando é uma fração; o denominador 4-2x não pode ser zero (pois fração com denominador zero é indefinida).
  • A pergunta é: quais valores de x em \mathbb{R} satisfazem essas condições simultaneamente?

Passo 2

Regras que vou usar (explicadas de forma direta):
  • Para que \sqrt{A} esteja bem definida em \mathbb{R}, é necessário e suficiente ter A\ge0.
  • Para uma fração \dfrac{N(x)}{D(x)} ser definida é preciso D(x)\neq0.
    Aplicando isso ao problema: preciso resolver a desigualdade
\frac{x+3}{4-2x}\ge0
e ainda exigir
4-2x\neq0.

Passo 3

Encontro os pontos críticos da desigualdade: zeros do numerador e zeros do denominador.
  • Numerador x+3=0 em x=-3.
  • Denominador 4-2x=0 em x=2.
    Esses pontos particionam a reta em três intervalos: (-\infty,-3), (-3,2) e (2,\infty). Vou usar o método do quadro de sinais: em cada intervalo escolho um ponto teste e avalio o sinal da fração.

Passo 4

Avaliação nos pontos teste (mostrando as contas):
  • Para x=-4 (no intervalo (-\infty,-3)): x+3=-4+3=-1<0,\qquad 4-2x=4-2(-4)=4+8=12>0,então \frac{x+3}{4-2x}=\frac{-1}{12}<0.Logo a fração é negativa nesse intervalo — não serve para o radicando.
  • Para x=0 (no intervalo (-3,2)): x+3=0+3=3>0,\qquad 4-2x=4-0=4>0,então \frac{x+3}{4-2x}=\frac{3}{4}>0.Logo a fração é positiva nesse intervalo — esses x são admitidos.
  • Para x=3 (no intervalo (2,\infty)): x+3=3+3=6>0,\qquad 4-2x=4-6=-2<0,então \frac{x+3}{4-2x}=\frac{6}{-2}<0.Logo a fração é negativa nesse intervalo — não serve.

Passo 5

Tratamento dos pontos críticos:
  • Em x=-3 o numerador é zero e o denominador é 4-2(-3)=10\neq0. Assim \dfrac{x+3}{4-2x}=0 em x=-3, e \sqrt{0}=0 é permitido. Portanto x=-3 pertence ao domínio.
  • Em x=2 o denominador é zero, a fração é indefinida; assim x=2 deve ser excluído do domínio.

Passo 6

Concluindo a partir do quadro de sinais e dos pontos críticos: a fração é não negativa exatamente para -3\le x<2. Portanto o domínio da função é o intervalo fechado em -3 e aberto em 2.

Resposta

[-3,2)

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