(1,5 pts) Determine o domínio de
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o domínio da função
Informações dadas e o que é pedido:
- A função tem uma raiz quadrada externa, portanto o radicando
precisa ser maior ou igual a zero. - O radicando é uma fração; o denominador
não pode ser zero (pois fração com denominador zero é indefinida). - A pergunta é: quais valores de
em satisfazem essas condições simultaneamente?
Passo 2
Regras que vou usar (explicadas de forma direta):
- Para que
esteja bem definida em , é necessário e suficiente ter . - Para uma fração
ser definida é preciso .
Aplicando isso ao problema: preciso resolver a desigualdade
e ainda exigir
Passo 3
Encontro os pontos críticos da desigualdade: zeros do numerador e zeros do denominador.
- Numerador
em . - Denominador
em .
Esses pontos particionam a reta em três intervalos:, e . Vou usar o método do quadro de sinais: em cada intervalo escolho um ponto teste e avalio o sinal da fração.
Passo 4
Avaliação nos pontos teste (mostrando as contas):
- Para
(no intervalo ): então Logo a fração é negativa nesse intervalo — não serve para o radicando. - Para
(no intervalo ): então Logo a fração é positiva nesse intervalo — esses são admitidos. - Para
(no intervalo ): então Logo a fração é negativa nesse intervalo — não serve.
Passo 5
Tratamento dos pontos críticos:
- Em
o numerador é zero e o denominador é . Assim em , e é permitido. Portanto pertence ao domínio. - Em
o denominador é zero, a fração é indefinida; assim deve ser excluído do domínio.
Passo 6
Concluindo a partir do quadro de sinais e dos pontos críticos: a fração é não negativa exatamente para
. Portanto o domínio da função é o intervalo fechado em
e aberto em
.