Determine os seguintes limites, caso existam.
(1,0 pts) \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A base é \,1-\dfrac{2}{x}\,.
  • O expoente é \,3x\,.
  • Quando x\to -\infty: \dfrac{2}{x}\to 0^{-}, logo \,1-\dfrac{2}{x}\to 1 (aproxima-se de 1 por valores maiores que 1, porque -2/x>0 para x negativo grande).
  • O expoente \,3x\to -\infty.
    Portanto temos uma forma do tipo “algo que vai para 1” elevado a "algo que vai para -\infty". Não é imediato o valor do limite sem reescrever/linearizar a potência.

Passo 2

Estratégia geral e justificativa: é conveniente tomar o logaritmo natural para passar o expoente para frente e transformar a expressão numa exponencial. Usamos que a função exponencial é contínua: se
L=\lim_{x\to -\infty} 3x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right)
existe finito, então
\lim_{x\to -\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3x}=\exp(L).
Antes de tomar log, notar que para x negativo com |x| grande a base 1-\dfrac{2}{x} é positiva, então o logaritmo está bem definido na vizinhança do infinito negativo.

Passo 3

Calcular o limite do logaritmo:
L=\lim_{x\to -\infty} 3x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right).
Faça a substituição auxiliar u=-\dfrac{2}{x}. Quando x\to -\infty tem-se u\to 0^{+}. Reescrevendo,
\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right)=\ln(1+u).
Logo
3x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right)=3x\ln(1+u).
Agora escrevemos \ln(1+u)=u\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}. Como \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1 (fato clássico), temos \frac{\ln(1+u)}{u}\to 1. Assim
3x\ln(1+u)=3x\cdot u\cdot\left(\frac{\ln(1+u)}{u}\right).
Mas 3x\cdot u = 3x\cdot\left(-\frac{2}{x}\right) = -6. Portanto
3x\ln(1+u) = -6\cdot\left(\frac{\ln(1+u)}{u}\right).
Passando ao limite, como \dfrac{\ln(1+u)}{u}\to 1, obtemos
L=\lim_{x\to -\infty}3x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right) = -6.

Passo 4

Voltando à expressão original, pelo Passo 2 temos que o limite procurado é \exp(L). Com L=-6 concluímos que o limite existe e vale a exponencial de -6.

Resposta

e^{-6}

Exercícios relacionados