Determine os seguintes limites, caso existam.
(1,0 pts)
(1,0 pts)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A base é
. - O expoente é
. - Quando
: , logo (aproxima-se de 1 por valores maiores que 1, porque para negativo grande). - O expoente
.
Portanto temos uma forma do tipo “algo que vai para 1” elevado a "algo que vai para". Não é imediato o valor do limite sem reescrever/linearizar a potência.
Passo 2
Estratégia geral e justificativa: é conveniente tomar o logaritmo natural para passar o expoente para frente e transformar a expressão numa exponencial. Usamos que a função exponencial é contínua: se
existe finito, então
Antes de tomar log, notar que para
negativo com
grande a base
é positiva, então o logaritmo está bem definido na vizinhança do infinito negativo.
Passo 3
Calcular o limite do logaritmo:
Faça a substituição auxiliar
. Quando
tem-se
. Reescrevendo,
Logo
Agora escrevemos
. Como
(fato clássico), temos
. Assim
Mas
. Portanto
Passando ao limite, como
, obtemos
Passo 4
Voltando à expressão original, pelo Passo 2 temos que o limite procurado é
. Com
concluímos que o limite existe e vale a exponencial de
.