(1,5 pts) Determine o valor de a para que exista \lim _{x \rightarrow 0} f(x), onde
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{\operatorname{tg} x}{x}, \text { se } x>0 \\ x^{2}-4 x+a, \text { se } x \leq 0 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes:
f(x)=\begin{cases} \frac{\operatorname{tg} x}{x}, & \text{se } x>0,\\[4pt] x^{2}-4x+a, & \text{se } x\le 0. \end{cases}
O que ele pede é: determinar o valor de a para que exista \lim_{x\to 0} f(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x>0 temos \frac{\operatorname{tg} x}{x}.
  • Para x\le 0 temos x^{2}-4x+a.
  • O ponto de interesse é x=0, logo precisamos analisar o comportamento quando x\to 0^+ (pela direita) e quando x\to 0^- (pela esquerda).
  • Para que o limite \lim_{x\to 0} f(x) exista, os limites laterais devem existir e ser iguais:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^-} f(x).]

Passo 2

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{tg} x}{x}.
Primeiro, lembrar a identidade trigonométrica
\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Então
\frac{\operatorname{tg} x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Agora usamos dois resultados padrão sobre limites quando x\to 0:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. (Este é um limite fundamental que pode ser demonstrado por desigualdades geométricas ou por L’Hôpital; é aceitável memorizá-lo para provas.)
  • \displaystyle \lim_{x\to 0}\cos x=1 (porque o cosseno é contínuo e \cos 0=1).
Multiplicando os limites (produto de limites, já que ambos existem):
\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{tg} x}{x} =\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\right) =1\cdot\frac{1}{1}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0^+}f(x)=1.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 0^-} (x^{2}-4x+a).
A expressão x^{2}-4x+a é um polinômio (em x). Polinômios são funções contínuas em todo ponto real, ou seja, o limite ao aproximar x de 0 é simplesmente o valor da função em 0. Podemos também ver direto pelas parcelas:
\lim_{x\to 0^-} x^{2}=0,\qquad \lim_{x\to 0^-} (-4x)=0,
logo
\lim_{x\to 0^-}(x^{2}-4x+a)=0-0+a=a.
Portanto
\lim_{x\to 0^-}f(x)=a.

Passo 4

Para que exista o limite geral \lim_{x\to 0} f(x) é necessário e suficiente que os limites laterais coincidam. Já obtivemos:
\lim_{x\to 0^+}f(x)=1,\qquad \lim_{x\to 0^-}f(x)=a.
Igualando-os para garantir existência do limite:
a=1.
Isto resolve: com a=1 os dois limites laterais são iguais a 1 e assim \lim_{x\to 0} f(x) existe (e vale 1). Em termos práticos para prova: sempre calcule os limites laterais e os iguale — aqui um lado deu diretamente 1 e o outro deu a, então a resposta foi imediata.

Resposta

a=1

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