(1,5 pts) Determine o valor de
para que exista
, onde
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes:
O que ele pede é: determinar o valor de
para que exista
.
Informações relevantes fornecidas:
- Para
temos . - Para
temos . - O ponto de interesse é
, logo precisamos analisar o comportamento quando (pela direita) e quando (pela esquerda). - Para que o limite
exista, os limites laterais devem existir e ser iguais:
Passo 2
Calcular o limite pela direita
.
Primeiro, lembrar a identidade trigonométrica
Então
Agora usamos dois resultados padrão sobre limites quando
:
-
. (Este é um limite fundamental que pode ser demonstrado por desigualdades geométricas ou por L’Hôpital; é aceitável memorizá-lo para provas.) -
(porque o cosseno é contínuo e ).
Multiplicando os limites (produto de limites, já que ambos existem):
Portanto
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda
.
A expressão
é um polinômio (em
). Polinômios são funções contínuas em todo ponto real, ou seja, o limite ao aproximar
de
é simplesmente o valor da função em
. Podemos também ver direto pelas parcelas:
logo
Portanto
Passo 4
Para que exista o limite geral
é necessário e suficiente que os limites laterais coincidam. Já obtivemos:
Igualando-os para garantir existência do limite:
Isto resolve: com
os dois limites laterais são iguais a
e assim
existe (e vale
). Em termos práticos para prova: sempre calcule os limites laterais e os iguale — aqui um lado deu diretamente
e o outro deu
, então a resposta foi imediata.