Determine os seguintes limites, eliminando as indeterminações quando necessário:
\lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-4 x+3\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 3}\left(x^{2}-4x+3\right).
Informações dadas:
  • A expressão cuja limite queremos é \,x^{2}-4x+3.
  • O ponto de aproximação é x=3.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x tende para 3?

Passo 2

Conceito útil (explicação curta e prática): se uma função é contínua em um ponto a, então
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Polinômios (como x^{2}-4x+3) são funções contínuas para todo x. Na prática isso significa que, para um polinômio, basta substituir x=a para obter o limite. Vou mostrar isso com a substituição direta e também por uma verificação algébrica (fatoração), para você entender melhor.

Passo 3

Método 1 — substituição direta (pela continuidade do polinômio):
\lim_{x\to 3}\left(x^{2}-4x+3\right)=3^{2}-4\cdot 3+3.
Calcule passo a passo:
3^{2}=9,\qquad -4\cdot 3=-12,
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9-12+3=0.

Passo 4

Método 2 — fatoração (verificação algébrica):
Primeiro fatoramos o quadrático. Procuramos dois números que multiplicam para 3 e somam para -4; são -1 e -3. Assim
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Então
\lim_{x\to 3}(x-1)(x-3)=\left(\lim_{x\to 3}(x-1)\right)\left(\lim_{x\to 3}(x-3)\right),
usando a propriedade de limites de produto (os limites das partes existem). Calculando:
\lim_{x\to 3}(x-1)=2,\qquad \lim_{x\to 3}(x-3)=0,
portanto o produto é 2\cdot 0=0, confirmando o resultado da substituição direta.

Resposta

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