Localize todos os mínimos relativos, máximos relativos e os pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede para localizar todos os mínimos relativos, máximos relativos e os pontos de sela da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Precisa-se classificar todos os pontos críticos (se houver uma curva de pontos críticos, listar essa curva).
O que vamos procurar explicitamente:
- Os pontos críticos (onde o gradiente é o vetor zero).
- A natureza desses pontos: mínimo relativo (estrito ou não), máximo relativo ou ponto de sela.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos usando o gradiente. Lembre que o gradiente de uma função
Calculando as derivadas parciais de
:
Os pontos críticos satisfazem
. Então resolvemos o sistema
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por
, que é a mesma condição. Portanto a solução do sistema é a reta dada por
Conclusão deste passo: todos os pontos críticos formam a reta
.]
Passo 3
Aplicar a segunda derivada (Hessiana) para tentar classificar os pontos críticos e explicar a regra. Lembre que a matriz Hessiana é
Calculando as derivadas segundas:
Logo
Para o teste clássico em duas variáveis definimos o discriminante
Aqui
Quando
e
temos mínimo isolado; quando
e
temos máximo isolado; quando
temos sela. Mas quando
o teste é inconclusivo — ele não decide a natureza dos pontos. Portanto, com o Hessiano obtemos que o teste padrão é inconclusivo e precisamos de outro argumento para classificar.]
Passo 4
Tentar fatorar ou reescrever
para entender melhor o comportamento. Uma técnica útil com quadráticas é verificar se é um quadrado perfeito. Vamos testar se
pode ser escrito como um quadrado:
Portanto
Isto é muito revelador:
é um quadrado perfeito, sempre não negativo. Assim para todo
vale
e
exatamente quando
.
Passo 5
Interpretar o resultado e classificar os pontos críticos com base na fatoração.
-
Como
para todo e atinge o valor ao longo da reta , cada ponto dessa reta é um ponto onde tem valor mínimo global igual a . Em particular, são mínimos relativos (não são mínimos estritos, porque em direções tangentes à reta o valor não aumenta: ao longo da própria reta permanece ). -
Não existe nenhum ponto com valor máximo relativo, porque a função é não limitada superiormente: por exemplo, tomando
e tem-se . Logo não há máximos. -
Tampouco há pontos de sela, porque não existe região onde
tome valores tanto maiores quanto menores arbitrariamente próximos a um ponto crítico: os pontos críticos são mínimos (o valor em qualquer vizinhança tem valores ). Um ponto de sela exigiria que em qualquer vizinhança hajam pontos com valores maiores e menores que o valor no ponto; aqui o valor mínimo é e vizinhanças contêm apenas valores , então não é sela.
Resposta
Mínimos relativos: todos os pontos da reta
(valor mínimo
; mínimos não estritos).
Máximos relativos: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.
Máximos relativos: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.