Localize todos os mínimos relativos, máximos relativos e os pontos de sela.
f(x, y)=4 x^{2}-12 x y+9 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para localizar todos os mínimos relativos, máximos relativos e os pontos de sela da função f(x,y)=4x^{2}-12xy+9y^{2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=4x^{2}-12xy+9y^{2}.
  • Precisa-se classificar todos os pontos críticos (se houver uma curva de pontos críticos, listar essa curva).
O que vamos procurar explicitamente:
  • Os pontos críticos (onde o gradiente é o vetor zero).
  • A natureza desses pontos: mínimo relativo (estrito ou não), máximo relativo ou ponto de sela.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos usando o gradiente. Lembre que o gradiente de uma função f(x,y)\) é o vetor formado pelas derivadas parciais: \[\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Calculando as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=8x-12y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-12x+18y.
Os pontos críticos satisfazem \nabla f(x,y)= (0,0). Então resolvemos o sistema
\begin{cases} 8x-12y=0,\\[4pt] -12x+18y=0. \end{cases}
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 4\]: \[2x-3y=0.\] A segunda equação é \(-6(2x-3y)=0, que é a mesma condição. Portanto a solução do sistema é a reta dada por
2x-3y=0.
Conclusão deste passo: todos os pontos críticos formam a reta \{(x,y)\mid 2x-3y=0\}.]

Passo 3

Aplicar a segunda derivada (Hessiana) para tentar classificar os pontos críticos e explicar a regra. Lembre que a matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
Calculando as derivadas segundas:
f_{xx}=8,\qquad f_{xy}=f_{yx}=-12,\qquad f_{yy}=18.
Logo
H=\begin{pmatrix}8 & -12\\[4pt]-12 & 18\end{pmatrix}.
Para o teste clássico em duas variáveis definimos o discriminante
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
Aqui
D=8\cdot18-(-12)^{2}=144-144=0.
Quando D>0 e f_{xx}>0 temos mínimo isolado; quando D>0 e f_{xx}<0 temos máximo isolado; quando D<0 temos sela. Mas quando D=0 o teste é inconclusivo — ele não decide a natureza dos pontos. Portanto, com o Hessiano obtemos que o teste padrão é inconclusivo e precisamos de outro argumento para classificar.]

Passo 4

Tentar fatorar ou reescrever f para entender melhor o comportamento. Uma técnica útil com quadráticas é verificar se é um quadrado perfeito. Vamos testar se f pode ser escrito como um quadrado:
(2x-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}=f(x,y).
Portanto
f(x,y)=(2x-3y)^{2}.
Isto é muito revelador: f é um quadrado perfeito, sempre não negativo. Assim para todo (x,y) vale
f(x,y)\ge 0,
e f(x,y)=0 exatamente quando 2x-3y=0.

Passo 5

Interpretar o resultado e classificar os pontos críticos com base na fatoração.
  • Como f(x,y)=(2x-3y)^{2}\ge 0 para todo (x,y) e atinge o valor 0 ao longo da reta 2x-3y=0, cada ponto dessa reta é um ponto onde f tem valor mínimo global igual a 0. Em particular, são mínimos relativos (não são mínimos estritos, porque em direções tangentes à reta o valor não aumenta: ao longo da própria reta f permanece 0).
  • Não existe nenhum ponto com valor máximo relativo, porque a função é não limitada superiormente: por exemplo, tomando y=0 e x\to\infty tem-se f(x,0)=4x^{2}\to\infty. Logo não há máximos.
  • Tampouco há pontos de sela, porque não existe região onde f tome valores tanto maiores quanto menores arbitrariamente próximos a um ponto crítico: os pontos críticos são mínimos (o valor em qualquer vizinhança tem valores \ge 0). Um ponto de sela exigiria que em qualquer vizinhança hajam pontos com valores maiores e menores que o valor no ponto; aqui o valor mínimo é 0 e vizinhanças contêm apenas valores \ge 0, então não é sela.

Resposta

Mínimos relativos: todos os pontos da reta \{(x,y)\mid 2x-3y=0\} (valor mínimo 0; mínimos não estritos).
Máximos relativos: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.

Exercícios relacionados