Mostre que os limites seguintes não existem:
(Sug. Use o caminho geral )
(Sug. Use o caminho geral )
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. Informações dadas e observações imediatas que nos serão úteis:
- A função considerada é
. - O ponto em que nos aproximamos é
. - O denominador
é igual a zero quando satisfaz . Em pontos onde a expressão não está definida. - O enunciado sugere usar um “caminho geral” (ou seja, testar diferentes caminhos de aproximação até
) para verificar se o valor do limite depende do caminho.
Passo 2
Conceito usado e ideia do teste por caminhos (explicadinho): para uma função de duas variáveis
, o limite
existe e é igual a
somente se, ao aproximar
de
por qualquer caminho, o valor das imagens
tende sempre para o mesmo número
. Portanto, para mostrar que o limite não existe basta encontrar dois (ou mais) caminhos que levem a limites diferentes. Vamos aplicar exatamente isso: calcular o limite ao longo de famílias de caminhos e comparar os resultados.
Passo 3
Testando caminhos retos (linhas) do tipo
com
constante (e
, porque
faz o denominador zero):
Para qualquer
, ao fazermos
obtemos
Ou seja, ao aproximar por qualquer linha
com
, o valor da expressão tende a
.
Passo 4
A linha com
é especial porque nela
e a expressão não está definida. Isso nos sugere tentar caminhos que se aproximem de
passando muito próximos da reta
, mas sem ficar exatamente nela. Uma família natural que faz isso é
onde
é uma constante fixa (escolhemos
para não cair exatamente na reta
). Note que ao fazermos
temos
, então esses caminhos realmente vão para
.
Passo 5
Substituindo
na expressão e simplificando passo a passo:
Para o denominador:
Logo a fração fica
Agora, ao fazermos
(com
fixo e
), fica
Portanto, o limite ao longo do caminho
é
.
Passo 6
Concluímos que, dependendo do parâmetro
, obtemos diferentes valores para o limite ao aproximar por esses caminhos. Por exemplo:
- Se escolhermos
o limite ao longo de é . - Se escolhermos
o limite ao longo de é . - Já ao aproximar por uma linha
com obtemos limite .
Como esses resultados são diferentes (por exemplo,
,
e
aparecem ao usar caminhos distintos), não existe um único número
que seja limite da função para todas as formas de aproximação. Logo o limite pedido não existe.