Mostre que os limites seguintes não existem:
(Sug. Use o caminho geral )
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{5 x^{2}-y^{2}}{2 x+y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{5x^{2}-y^{2}}{2x+y}
não existe. Informações dadas e observações imediatas que nos serão úteis:
  • A função considerada é \dfrac{5x^{2}-y^{2}}{2x+y}.
  • O ponto em que nos aproximamos é (0,0).
  • O denominador (2x+y) é igual a zero quando (x,y) satisfaz \;2x+y=0. Em pontos onde 2x+y=0 a expressão não está definida.
  • O enunciado sugere usar um “caminho geral” (ou seja, testar diferentes caminhos de aproximação até (0,0)) para verificar se o valor do limite depende do caminho.

Passo 2

Conceito usado e ideia do teste por caminhos (explicadinho): para uma função de duas variáveis f(x,y), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a L somente se, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer caminho, o valor das imagens f(x,y) tende sempre para o mesmo número L. Portanto, para mostrar que o limite não existe basta encontrar dois (ou mais) caminhos que levem a limites diferentes. Vamos aplicar exatamente isso: calcular o limite ao longo de famílias de caminhos e comparar os resultados.

Passo 3

Testando caminhos retos (linhas) do tipo y = m x com m constante (e m\neq -2, porque m=-2 faz o denominador zero):
\text{Substituindo } y=mx \text{ em } \frac{5x^{2}-y^{2}}{2x+y}:
\frac{5x^{2}-(m x)^{2}}{2x+ m x} =\frac{(5-m^{2})x^{2}}{(2+m)x} = x\cdot\frac{5-m^{2}}{2+m}.
Para qualquer m\neq -2, ao fazermos x\to 0 obtemos
\lim_{x\to 0} x\cdot\frac{5-m^{2}}{2+m}=0.
Ou seja, ao aproximar por qualquer linha y=mx com m\neq -2, o valor da expressão tende a 0.

Passo 4

A linha com m=-2 é especial porque nela 2x+y=0 e a expressão não está definida. Isso nos sugere tentar caminhos que se aproximem de (0,0) passando muito próximos da reta 2x+y=0, mas sem ficar exatamente nela. Uma família natural que faz isso é
y = -2x + t x^{2},
onde t é uma constante fixa (escolhemos t\neq 0 para não cair exatamente na reta y=-2x). Note que ao fazermos x\to 0 temos y\to 0, então esses caminhos realmente vão para (0,0).

Passo 5

Substituindo y = -2x + t x^{2} na expressão e simplificando passo a passo:
5x^{2}-y^{2} =5x^{2}-\bigl(-2x + t x^{2}\bigr)^{2} =5x^{2}-\bigl(4x^{2}-4t x^{3}+t^{2}x^{4}\bigr)
=5x^{2}-4x^{2}+4t x^{3}-t^{2}x^{4} = x^{2} + 4t x^{3} - t^{2} x^{4}.
Para o denominador:
2x+y=2x+(-2x + t x^{2})= t x^{2}.
Logo a fração fica
\frac{5x^{2}-y^{2}}{2x+y} = \frac{x^{2} + 4t x^{3} - t^{2} x^{4}}{t x^{2}} = \frac{1 + 4t x - t^{2} x^{2}}{t}.
Agora, ao fazermos x\to 0 (com t fixo e t\neq 0), fica
\lim_{x\to 0} \frac{1 + 4t x - t^{2} x^{2}}{t} = \frac{1}{t}.
Portanto, o limite ao longo do caminho y=-2x+t x^{2} é \dfrac{1}{t}.

Passo 6

Concluímos que, dependendo do parâmetro t, obtemos diferentes valores para o limite ao aproximar por esses caminhos. Por exemplo:
  • Se escolhermos t=1 o limite ao longo de y=-2x+x^{2} é 1.
  • Se escolhermos t=2 o limite ao longo de y=-2x+2x^{2} é \tfrac{1}{2}.
  • Já ao aproximar por uma linha y=mx com m\neq -2 obtemos limite 0.
Como esses resultados são diferentes (por exemplo, 0, 1 e \tfrac{1}{2} aparecem ao usar caminhos distintos), não existe um único número L que seja limite da função para todas as formas de aproximação. Logo o limite pedido não existe.

Resposta

\text{Não existe}ã

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