Determine os seguintes limites, se existirem:
\left(0,5\right. ponto) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3 x+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3x+5}.
O conteúdo envolve limites no infinito de funções que combinam raízes quadradas e polinômios. Vamos usar manipulações algébricas para simplificar a expressão antes de aplicar o limite.

Passo 2

Reescrevemos a raiz quadrada extraindo x^{2} do radicando:
\sqrt{x^{2}+9} = \sqrt{x^{2}\Bigl(1+\frac{9}{x^{2}}\Bigr)} = |x|\;\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}.

Passo 3

Como x\to -\infty, temos x<0 e portanto |x|=-x. Substituindo na expressão original:
\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3x+5} = \frac{-\,x\;\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}}{3x+5}.

Passo 4

Fatoramos x no denominador:
3x+5 = x\Bigl(3+\frac{5}{x}\Bigr),
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\frac{-\,x\;\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}}{3x+5} = \frac{-\,x\;\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}}{x\bigl(3+\frac{5}{x}\bigr)} = -\,\frac{\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}}{3+\frac{5}{x}}.

Passo 5

Agora aplicamos o limite x\to -\infty:
\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}\to 1, \qquad \frac{5}{x}\to 0,
portanto
-\,\frac{\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}}{3+\frac{5}{x}} \;\longrightarrow\; -\frac{1}{3}.

Resposta

\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3x+5} = -\frac{1}{3}.

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