Determine os seguintes limites, se existirem:
\left(0.5\right. ponto) \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-2 x-3}{x^{2}-x-2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-x-2}.
Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e verificar se há cancelamento de fator que torne o limite um caso de “buraco” removível.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-2x-3 = (x+1)(x-3),
x^{2}-x-2 = (x+1)(x-2).

Passo 3

Como em torno de x=-1 (mas x\neq -1) podemos cancelar o fator comum (x+1), a expressão simplificada é
\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-x-2} = \frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-2)} = \frac{x-3}{x-2}.

Passo 4

A função \frac{x-3}{x-2} é contínua em x=-1, então basta substituir:
\frac{-1-3}{-1-2} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}.

Resposta

\frac{4}{3}

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