Determine os seguintes limites, se existirem:
\left(0.5\right. ponto) \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-2 x-3}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to3}\frac{x^2-2x-3}{x^2-9},
que envolve limites de funções racionais e uso de factorização para remover indeterminações.

Passo 2

Verificamos o valor direto em x=3:
\frac{3^2-2\cdot3-3}{3^2-9}=\frac{9-6-3}{9-9}=\frac{0}{0},
logo há indeterminação do tipo 0/0, permitindo fatoração.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
x^2-2x-3=(x-3)(x+1),
x^2-9=(x-3)(x+3).

Passo 4

Cancelamos (x-3) para x\neq3 e obtemos a forma simplificada
\frac{x^2-2x-3}{x^2-9}=\frac{x+1}{x+3}.
Como \frac{x+1}{x+3} é contínua em x=3, o limite é
\frac{3+1}{3+3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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