Determine os seguintes limites no infinito:

Passo 1

O problema pede para calcular o limite quando xtoinfty de lnl((x^6 - 500)/(x^6 + 500)r). O conteúdo envolvido é limite no infinito de funções racionais e uso de propriedades de logaritmos, além da continuidade do ln. Vamos precisar usar fatoração de termo dominante e a propriedade de que ln é contínuo em 0,infty.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o argumento do logaritmo fatorando x^6 no numerador e no denominador. Assim:
x^6 - 500x^6 + 500 = x^6l(1 - tfrac500x^6r)x^6l(1 + tfrac500x^6r) = 1 - tfrac500x^61 + tfrac500x^6
Em seguida, avaliamos o limite dessa fração quando xtoinfty. Como 500/x^6to 0, temos
limxtoinfty 1 - tfrac500x^61 + tfrac500x^6 = 1 - 01 + 0 = 1
Por último, usamos a continuidade do logaritmo natural em (0,infty). Como o argumento da ln tende a 1,
limxtoinfty lnl(x^6 - 500x^6 + 500r) = lnl(limxtoinfty x^6 - 500x^6 + 500r) = ln(1) = 0

Resposta

0

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