Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem.
f(x)=x^3+x^2+x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função polinomial f(x)=x^3+x^2+x e identificar eventuais assíntotas. Vamos usar conceitos de domínio, derivadas, pontos notáveis e comportamento assintótico para guiar o desenho.

Passo 2

Como f é um polinômio, seu domínio é R e não há descontinuidades nem assíntotas verticais.

Passo 3

Calculamos a derivada de primeira ordem para ver monotonia:
f'(x)=3x^2+2x+1
O discriminante é De, logo f'(x)>0 para todo x. Isso mostra que f é estritamente crescente, sem extremos locais.

Passo 4

Para o ponto de inflexão, usamos a derivada de segunda ordem:
f''(x)=6x+2
Igualando a zero, 6x+2=0 x=-tfrac13. O valor de f ali é
f(-tfrac13)=(-tfrac13)^3+(-tfrac13)^2+(-tfrac13)=-tfrac127+tfrac19-tfrac13=-tfrac727
Esse é o ponto de inflexão ( -tfrac13, -tfrac727 ).

Passo 5

Identificamos os interceptos: f(0)=0, então a curva passa pela origem (0,0). A única raiz real é x=0, pois x^3+x^2+x=x(x^2+x+1) e x^2+x+1 não zera em R. Para ter ideia da forma, avalie também f(-1)=-1+1-1=-1 e f(1)=1+1+1=3.

Passo 6

Com essa informação: a curva é crescente, sem picos, muda de concavidade em x=-tfrac13, passa por (-1,-1), (0,0) e (1,3). Esboce uma cúbica com ponto de inflexão levemente à esquerda da origem e sem viradas.

Passo 7

Como é um polinômio de grau 3, não existem assíntotas horizontais nem oblíquas (nem verticais, já que não há descontinuidade).

Resposta

Não existem assíntotas para f(x)=x^3+x^2+x.

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