Use a regra de L’Hospital para encontrar os seguintes limites:
lim t 0 t^2ln (sec t)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: A gente quer achar o limite limtto0t^2ln(sec t). O conteúdo aqui é cálculo de limites com forma indeterminada 0/0 e vamos usar a regra de L’Hospital junto com derivadas de funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Verificação da forma indeterminada: Quando tto0, temos t^2to0 e sec t=1/cos tto1, logo ln(sec t)toln1=0. Então o quociente é da forma 0/0, permitindo aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplicação da regra de L’Hospital: Derivamos numerador e denominador em relação a t:
Numerador: ddt(t^2)=2t.
Denominador: ddt[ln(sec t)]=1sec tcdotddt(sec t)=1sec tcdot(sec ttan t)=tan t.
Então o limite vira
limtto0t^2ln(sec t)=limtto02ttan t

Passo 4

Cálculo do novo limite: Note que tan tsim t quando tto0, ou seja limtto0ttan t=1. Logo
limtto02ttan t=2cdotlimtto0ttan t=2cdot1=2

Resposta

2

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