Determine os seguintes limites no infinito:
lim x infty 5^x3^x+2^x

Passo 1

A gente quer encontrar o limite quando xtoinfty da expressão 5^x3^x+2^x. O conteúdo aqui é comparação de crescimentos de funções exponenciais: bases maiores que 1 crescem muito rápido.

Passo 2

Uma técnica clássica é fatorar a maior base que aparece no denominador, que é 3^x. Dessa forma reescrevemos:
5^x3^x+2^x = 5^x/3^x1 + 2^x/3^x = (5/3)^x1 + (2/3)^x

Passo 3

Agora analisamos separadamente os dois termos:
  • Como 5/3>1, temos (5/3)^x to infty quando xtoinfty.
  • Como 2/3<1, temos (2/3)^x to 0 quando xtoinfty.

Passo 4

Juntando, o numerador (5/3)^x vai para infinito e o denominador 1+(2/3)^x tende a 1. Logo a fração cresce sem limite.

Resposta

infty

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