Determine os seguintes limites no infinito:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando xtoinfty de (3^x+3^2x)^1/x. O conteúdo envolve limites no infinito de soma de exponenciais e vamos usar propriedades de potências e fatoração para simplificar.

Passo 2

Para lidar com a soma de exponenciais de diferentes ordens, fatoramos o termo de maior crescimento, que é 3^2x. Assim escrevemos:
(3^x+3^2x)^1/x=l(3^2x(1+3^-x)r)^1/x=3^2x,/,x,(1+3^-x)^1/x
Aplicando a propriedade (ab)^c=a^c b^c ao termo anterior, obtemos:
3^2x,/,x,(1+3^-x)^1/x=3^2,(1+3^-x)^1/x=9,(1+3^-x)^1/x

Passo 3

Agora precisamos encontrar limxtoinfty(1+3^-x)^1/x. Como 3^-xto0 quando xtoinfty, temos uma forma do tipo 1^0. Para ver que esse limite vale 1, basta notar que o expoente 1/x vai a zero mais rápido que 3^-x vai a zero, logo:
limxtoinfty(1+3^-x)^1/x=1

Passo 4

Multiplicando os resultados, concluímos o limite original:

Resposta

9

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