Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem.
f(x)=raiz[3]x^2-x

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Temos a função f(x)= raiz[3]x^2-x. O que a questão pede é o esboço do gráfico e as equações das assíntotas, caso existam. Para isso, vamos analisar domínio, simetrias, comportamento em infinitos, derivadas para monotonicidade e pontos críticos.

Passo 2

Domínio e sinais: Como raiz cúbica está definida para todo real, o domínio é R. O radicando é x^2-x=x(x-1), que é positivo em (−infty,0)cup(1,infty) e negativo em (0,1). Assim f(x) é positiva para x<0 ou x>1, e negativa em 0.

Passo 3

Simetria: Podemos reescrever x^2-x=(x-tfrac12)^2-tfrac14, então f( tfrac12+u) = raiz[3]u^2-tfrac14 = f( tfrac12-u). Logo há simetria par em torno de x=tfrac12.

Passo 4

Comportamento em infinitos: Para xtopminfty temos f(x)simraiz[3]x^2=|x|^2/3, que cresce sem limite mas mais devagar que x. Assim não há assíntotas horizontais nem oblíquas (pois f(x)/xto0 e f(x)toinfty).

Passo 5

Pontos críticos e tangentes verticais: A derivada é
f'(x)=132x-1(x^2-x)^2/3
Zeramos o numerador: 2x-1=0 x=1/2. O denominador anula em x=0,1, indicando tangentes verticais (derivada infinita) nesses pontos.

Passo 6

Valores notáveis: Calculamos
f(0)=0, f(1)=0, f(tfrac12)=raiz[3](tfrac12)^2-tfrac12=raiz[3]-tfrac14=-raiz[3]tfrac14
Em x=1/2 há um mínimo local. Nos pontos x=0,1 a curva passa pela origem e por (1,0) com tangentes verticais.

Passo 7

Esboço do gráfico: A curva começa em xto-infty subindo como |x|^2/3, cruza (0,0) com tangente quase vertical, desce até o mínimo em (1/2,-raiz[3]1/4), sobe de forma simétrica, cruza (1,0) com outra tangente vertical e continua subindo para +infty.

Passo 8

Assíntotas: Não existe nenhuma assíntota (nem horizontal, nem oblíqua, nem vertical própria).

Resposta

Não existem assíntotas para f(x)= raiz[3]x^2-x.

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