Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem.
Passo 1
Enunciado e conteúdo: Temos a função f(x)=
. O que a questão pede é o esboço do gráfico e as equações das assíntotas, caso existam. Para isso, vamos analisar domínio, simetrias, comportamento em infinitos, derivadas para monotonicidade e pontos críticos.
Passo 2
Domínio e sinais: Como raiz cúbica está definida para todo real, o domínio é
. O radicando é
, que é positivo em
e negativo em
. Assim f(x) é positiva para
ou
, e negativa em
.
Passo 3
Simetria: Podemos reescrever
, então f(
) =
= f(
). Logo há simetria par em torno de
.
Passo 4
Comportamento em infinitos: Para
temos
, que cresce sem limite mas mais devagar que
. Assim não há assíntotas horizontais nem oblíquas (pois
e
).
Passo 5
Pontos críticos e tangentes verticais: A derivada é
Zeramos o numerador:
dá
. O denominador anula em
, indicando tangentes verticais (derivada infinita) nesses pontos.
Passo 6
Valores notáveis: Calculamos
Em
há um mínimo local. Nos pontos
a curva passa pela origem e por (1,0) com tangentes verticais.
Passo 7
Esboço do gráfico: A curva começa em
subindo como
, cruza (0,0) com tangente quase vertical, desce até o mínimo em
, sobe de forma simétrica, cruza (1,0) com outra tangente vertical e continua subindo para
.
Passo 8
Assíntotas: Não existe nenhuma assíntota (nem horizontal, nem oblíqua, nem vertical própria).
Resposta
Não existem assíntotas para f(x)=
.