Use a regra de L’Hospital para encontrar os seguintes limites:
lim x 0^+ sen x ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0^+sin xln x. O conteúdo envolve identificar uma forma indeterminada do tipo 0cdot(-infty) e aplicar a regra de L’Hôpital, para o que vamos reescrever o produto como uma razão.

Passo 2

Observamos que sin xto0 e ln xto-infty quando xto0^+, gerando a indeterminação 0cdot(-infty). Para usar L’Hôpital, reescrevemos o produto como quociente:
sin xln x = ln x1/sin x = ln xcsc x

Passo 3

Temos agora uma indeterminação do tipo (-infty)/(+infty), válida para L’Hôpital. Definimos
f(x)=ln x, g(x)=csc x
Suas derivadas são
f'(x)=1x, g'(x)=-csc xcot x = -cos xsin^2 x
Pela regra de L’Hôpital, o limite original é igual a
limxto0^+f'(x)g'(x) = limxto0^+1/x-cos x/sin^2 x = -sin^2 xxcos x

Passo 4

Agora simplificamos o quociente:
-sin^2 xxcos x = -l(sin xxr)l(sin xcos xr)
Quando xto0^+, tem-se sin x/xto1 e sin x/cos xto0. Logo o valor do limite é 0.

Resposta

0

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