Verifique a convergência das seguintes séries
\sum \frac{2+\cos n}{n},

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\cos n}{n}.
Aqui o termo geral é a_{n}=(2+\cos n)/n. Vamos usar o teste de comparação para séries de termos não negativos, lembrando que \cos n está sempre entre -1 e 1.

Passo 2

Para todo n\in\mathbb{N} temos \cos n\ge -1. Logo
2+\cos n \;\ge\;2-1=1,
e portanto
a_{n}=\frac{2+\cos n}{n}\;\ge\;\frac{1}{n}.

Passo 3

Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente (é o caso p=1 no critério p-séries).

Passo 4

Como para todo n vale
0\le a_{n}\;\ge\;\frac{1}{n}
e a série de \tfrac1n diverge, pelo teste de comparação concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\cos n}{n}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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