Determine o valor de
em cada um dos casos abaixo:
e
é a fronteira do quadrado
orientada no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede
determinar
onde e
é a fronteira do quadrado
orientada no sentido horário.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Cauchy para funções holomorfas e a existência de primitiva.
determinar
onde
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Cauchy para funções holomorfas e a existência de primitiva.
Passo 2
Observe que
é uma função inteira (holomorfa em todo
). Logo ela admite como primitiva a própria função
pois
.
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha complexas, em qualquer caminho fechado
dentro do domínio de
(aqui todo
), vale
Como
é fechado, o ponto final coincide com o inicial, e portanto