Determine o valor de \int_{\gamma} f(z) d z em cada um dos casos abaixo:
f(z)=e^{z} e \gamma é a fronteira do quadrado [-1,1] \times[-1,1] orientada no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede
determinar \displaystyle \int_{\gamma}f(z)\,dz
onde f(z)=e^{z} e \gamma é a fronteira do quadrado [-1,1]\times[-1,1] orientada no sentido horário.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Cauchy para funções holomorfas e a existência de primitiva.

Passo 2

Observe que f(z)=e^{z} é uma função inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}). Logo ela admite como primitiva a própria função
F(z)=e^{z},
pois F'(z)=e^{z}=f(z).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha complexas, em qualquer caminho fechado \gamma dentro do domínio de F (aqui todo \mathbb{C}), vale
\int_{\gamma}f(z)\,dz =F\bigl(z_{\text{final}}\bigr)-F\bigl(z_{\text{inicial}}\bigr).
Como \gamma é fechado, o ponto final coincide com o inicial, e portanto
\int_{\gamma}f(z)\,dz=0.

Resposta

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