Determine os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - 1}{x}. O conteúdo aqui é limite de quociente de funções, que lembra a definição de derivada. Para resolver, vamos usar a expansão binomial de \(1+x)^5\.
Passo 2
Pelo Teorema Binomial, temos:
$$
(1+x)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5
$$
(1+x)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5
$$
Passo 3
Substituímos na expressão do limite:
$$
\frac{(1+x)^5 - 1}{x} = \frac{\bigl(1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5\bigr) - 1}{x}
$$
\frac{(1+x)^5 - 1}{x} = \frac{\bigl(1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5\bigr) - 1}{x}
$$
Passo 4
Simplificamos subtraindo 1 e dividindo cada termo por \;x\;:
$$
\frac{5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5}{x} = 5 + 10x + 10x^2 + 5x^3 + x^4
$$
\frac{5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5}{x} = 5 + 10x + 10x^2 + 5x^3 + x^4
$$
Passo 5
Agora basta avaliar em \;x \to 0\;, observando que os termos com \;x\; vão a zero. Logo, o limite é
$$
5 + 10\cdot 0 + 10\cdot 0^2 + 5\cdot 0^3 + 0^4 = 5
$$
5 + 10\cdot 0 + 10\cdot 0^2 + 5\cdot 0^3 + 0^4 = 5
$$
Resposta
5