Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=x^x e identificar equações de assíntotas, se houverem. Vamos usar conceitos de domínio, limites, derivada e comportamento assintótico de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, determinamos o domínio. Como f(x)=x^x pode ser escrita como f(x)=
\exp\bigl(x\ln x\bigr), o logaritmo exige x>0. Logo, o domínio é (0,∞).
\exp\bigl(x\ln x\bigr), o logaritmo exige x>0. Logo, o domínio é (0,∞).
Passo 3
Em seguida, procuramos assíntotas horizontais ou verticais via limites nos extremos do domínio. Para x→0^+, calculamos
Como o limite é finito e igual a 1, existe uma assíntota horizontal y=1 à esquerda do domínio. Para x→∞, f(x)=x^x→∞, não há assíntota horizontal nem vertical.
Passo 4
Para detalhar a forma do gráfico, encontramos a derivada. Usando a regra de derivação de funções da forma x^x:
Zerando f’(x) vem ln x+1=0 ⇒ x=e^{-1}. Em x=1/e temos um ponto crítico que é mínimo, pois antes de 1/e f’ é negativo e depois é positivo.
Passo 5
Calculamos o valor mínimo:
Assim, f(x) decresce de f(0^+)=1 até esse mínimo em (1/e,e^{-1/e}) e depois cresce, passando por (1,1) e aumentando muito rápido.
Passo 6
No esboço final, marcamos:
- No eixo x: o ponto 1/e e 1.
- No eixo y: a assíntota horizontal y=1 à esquerda.
- O vale mínimo em (1/e,e^{-1/e}).
- Para x>1, f(x) cresce superexponencialmente.
Passo 7
A única assíntota é horizontal em y=1 quando x→0^+. Não há outras assíntotas.
Resposta
Apenas existe a assíntota horizontal y=1 para x→0^+. O gráfico está definido em (0,∞), decresce de (0,1) até o mínimo em x=1/e, f(1/e)=e^{-1/e} e depois cresce passando por (1,1) e tende a +∞.