Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem.
f(x)=x^2-2 x-3x+2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o esboço do gráfico da função racional f(x)=x^2-2x-3x+2 e determinar suas assíntotas. O conteúdo que vamos usar envolve divisão de polinômios para achar a assíntota oblíqua, análise do domínio para a vertical, e interceptos para ajudar no esboço.

Passo 2

Vamos fazer a divisão de x^2-2x-3 por x+2. Dividindo, obtemos o quociente x-4 e resto 5. Assim, podemos reescrever
f(x)=x^2-2x-3x+2=x-4+5x+2
Como o denominador x+2 zera em x=-2, existe uma assíntota vertical em x=-2.

Passo 3

O termo x-4 é a parte polinomial resultante e constitui a assíntota oblíqua y=x-4.

Passo 4

Para ajudar no esboço, achamos interceptos. Zeros de f vêm de x^2-2x-3=0, ou seja, x=3 e x=-1. O intercepto em y é f(0)=-3/2.

Passo 5

Ao esboçar, note que para x>-2 temos 5/(x+2)>0, então o gráfico fica acima de y=x-4; para x<-2 fica abaixo. Marcamos as assíntotas e interceptos e desenhamos dois ramos aproximando-se das retas.

Passo 6

O esboço final mostra dois ramos hiperbólicos, um à esquerda de x=-2 abaixo da reta y=x-4 e outro à direita acima de y=x-4, passando pelos interceptos encontrados.

Resposta

As assíntotas da função são: vertical x=-2 e oblíqua y=x-4. O esboço do gráfico apresenta dois ramos que se aproximam dessas retas.

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